Figure sans paroles #5.7.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.7.1

    le 20 juillet 2020 à 13:54, par Hébu

    Quatre points $A,B,C,D$ sur un cercle. On place sur $(AB)$ et $(CD)$ les projetés orthogonaux de ces points : $AG, BF,CI,DH$.

    $J$ (resp. $K, L$) est l’intersection de $AG$ et $DH$ (resp. de $AC$ et $BD$, de $BF$ et $CI$).

    Les points $J, K, L$ sont alignés.

    .

    Par construction, $A,B,C,D$ sont cocycliques, la puissance de $K$ dans le cercle s’écrit $KA*KC=KB*KD$.

    Les angles droits nous valent d’autres quadruplets cocycliques :

    * $B,I,F,C$ sont cocycliques : la puissance de $L$ permet d’écrire $LI*LC=LB*LF$

    * $A,H,G,D$ sont cocycliques, et la puissance de $J$ donne $JH*JD=JA*JG$.

    .
    Si maintenant on considère les points $A,G,C,I$ d’une part, et $B,H,D,F$ d’autre part, les angles droits en $G,I,F,H$ les font également cocycliques, et les trois égalités précédentes montrent que les points $J,K$ et $L$, de même puissance par rapport à chacun, sont sur leur axe radical.

    Document joint : idm5-7-1.jpg
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