Figure sans paroles #5.7.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.7.1

    le 10 août 2020 à 00:02, par Sidonie

    Une démonstration sans la cocyclité ABCD.
    Dans la figure initiale on a (GH)//(BC) puisque toutes deux perpendiculaires au diamètre du cercle EAD passant par E l’une à cause d’une propriété du triangle orthique de EAD, l’autre à cause du prolifique 1.10. Ce parallélisme suffit comme hypothèse pour avoir l’alignement J, K, L.
    Description figure : (AB) et (CD) se coupent en E, H est un point de (AB), G est le point de (CD) tel que (GH)//(BC). F est le point de (CD) tel que (BF)//(AG). I est le point de (AB) tel que (CI)//(DH). J = (AG) $\cap$ (DH).K = (AC) $\cap$ (DB). L = (BF) $\cap$ (CI). M = (IG) $\cap$ (FH). N = (BG) $\cap$ (CH). O = (AF) $\cap$ (DI).
    Démonstration : En plus des 3 paires de parallèles ci-dessus s’en trouvent 3 autres (AC)//(FH), (IG)//(BD), (IF)//(AD).
    On a $\frac {EH} {EB}$ = $\frac {EG} {EC}$ et $\frac {EB} {EA}$ = $\frac {EF} {EG}$ et en multipliant membre à membre $\frac {EH} {EA}$ =$\frac {EF} {EC}$ qui prouve (AC)//(FH) et les deux autres de la même manière.
    Il suffit alors d’utiliser 4 fois un résultat qui découle du théorème de Thalès et sa réciproque, qui découle aussi du théorème de Desargues en géométrie projective : si deux triangles ont leurs côtés 2 à 2 parallèles alors les droites joignant les sommets correspondants sont concourantes.
    JHG avec LBC donne J,N et L alignés, JAD avec LIF donne J,O et L alignés et J et L sont sur (ON)
    MHG avec KBC donne M,N et K alignés, KAD avec MIF donne M,O et K alignés et Met K sont aussi sur (ON)

    Document joint : fsp_5.7.1_generalise.jpg
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