Figure sans paroles #6.1.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 6.1.10

    le 9 de marzo de 2021 à 23:48, par Sidonie

    4 cercles de centres M, N, P et Q sont tangents intérieurement en A, B, C et D à un cercle de centre O et de rayon R. On note a, b, c, d, e et f les bras de tangentes extérieures communes à ces 4 cercles pris 2 à 2 (voir figure). Il s’agit de prouver ac + bd = ef.
    Dans le 5.5.6 on a vu que A, B, C et D étant cocycliques on a AB.CD + AD.BC = AC.BD (1)
    Appliquant le théorème d’Al Kashi à OAB puis à OMN il vient
    AB² = 2R²(1 – cos $\alpha$) et par suite (1 – cos $\alpha$) =$\frac {AB^2} {2R^2}$ (2)
    MN² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$
    En appliquant le th de Pythagore on a :
    a² = EF² = MN² - (ME – NF)² or ME – NF = MA – NB = ON – OM donc
    a² = MN² - (ON – OM)² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$ – ON² + 2OM.ON – OM²
    a² = 2OM.ON (1 – cos $\alpha$) = AB²x $\frac {OM.ON} {R^2}$ d’après (2)
    On aura de même c² = CD²x $\frac {OP.OQ} {R^2}$ et donc
    ac = AB.CD x $\frac {\sqrt {OM.ON.OP.OQ}} {R^2}$ = k x AB.CD
    En renouvelant avec bd et ef on retrouvera le même coefficient k.
    ac + bd = k AB.CD + k AD.BC = k (AB.CD + AD.BC) = k AC.BD = ef

    Document joint : fsp_6.1.10.jpg
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  • 6.1.10

    le 11 de marzo de 2021 à 16:13, par Hébu

    Prodigieux ! Ce qui est bien, c’est que l’égalité recherchée découle, via cette manipulation, du résultat du 5.5.6 (qui est, il me semble avoir vu ça, le «théorème de Ptolémée»). Mais c’est très virtuose, bravo !

    Répondre à ce message

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