Figure sans paroles #6.1.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.1.10

    le 9 mars à 23:48, par Sidonie

    4 cercles de centres M, N, P et Q sont tangents intérieurement en A, B, C et D à un cercle de centre O et de rayon R. On note a, b, c, d, e et f les bras de tangentes extérieures communes à ces 4 cercles pris 2 à 2 (voir figure). Il s’agit de prouver ac + bd = ef.
    Dans le 5.5.6 on a vu que A, B, C et D étant cocycliques on a AB.CD + AD.BC = AC.BD (1)
    Appliquant le théorème d’Al Kashi à OAB puis à OMN il vient
    AB² = 2R²(1 – cos $\alpha$) et par suite (1 – cos $\alpha$) =$\frac {AB^2} {2R^2}$ (2)
    MN² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$
    En appliquant le th de Pythagore on a :
    a² = EF² = MN² - (ME – NF)² or ME – NF = MA – NB = ON – OM donc
    a² = MN² - (ON – OM)² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$ – ON² + 2OM.ON – OM²
    a² = 2OM.ON (1 – cos $\alpha$) = AB²x $\frac {OM.ON} {R^2}$ d’après (2)
    On aura de même c² = CD²x $\frac {OP.OQ} {R^2}$ et donc
    ac = AB.CD x $\frac {\sqrt {OM.ON.OP.OQ}} {R^2}$ = k x AB.CD
    En renouvelant avec bd et ef on retrouvera le même coefficient k.
    ac + bd = k AB.CD + k AD.BC = k (AB.CD + AD.BC) = k AC.BD = ef

    Document joint : fsp_6.1.10.jpg
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  • 6.1.10

    le 11 mars à 16:13, par Hébu

    Prodigieux ! Ce qui est bien, c’est que l’égalité recherchée découle, via cette manipulation, du résultat du 5.5.6 (qui est, il me semble avoir vu ça, le « théorème de Ptolémée »). Mais c’est très virtuose, bravo !

    Répondre à ce message

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