Figure sans paroles #6.5.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.5.6

    le 7 juin à 21:00, par Hébu

    Un cercle de centre $A$ (je le note $(c)$), deux cercles $(c_1)$ et $(c_2)$, centres $B$ et $C$ tangents intérieurement au premier en $E$ et $F$.

    On nomme $D$ le point d’intersection des tangentes communes à $(c_1)$ et $(c_2)$.

    Il faut montrer que $D$, $E$, $F$ sont alignés.
    .
    On peut introduire des homothéties : $e$, qui envoie $(c_1)$ sur $(c)$, $f$ qui envoie $(c_2)$ sur $(c)$, et $d$ qui envoie $(c_1)$ sur $(c_2)$.

    On a évidemment $d=f^{-1}\circ e$, ce qui implique que les centres des homothéties sont alignés : ce sont les points $D, E, F$.

    Démonstration qui rappelle les arguments développés pour les figures 6.2. Un point troublant : les figures précédentes, 6.5.1 à 6.5.5, illustrent toutes les propriétés de l’axe radical, et on aurait pu imaginer que la section 6.5 visait à tresser ses louanges. Il n’en est rien !

    .
    Peut-on alors imaginer une autre approche ? (à mon tour de m’inquiéter)

    Document joint : idm6-5-6.jpg
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