Figure sans paroles #6.5.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.5.6

    le 7 juin à 21:00, par Hébu

    Un cercle de centre $A$ (je le note $(c)$), deux cercles $(c_1)$ et $(c_2)$, centres $B$ et $C$ tangents intérieurement au premier en $E$ et $F$.

    On nomme $D$ le point d’intersection des tangentes communes à $(c_1)$ et $(c_2)$.

    Il faut montrer que $D$, $E$, $F$ sont alignés.
    .
    On peut introduire des homothéties : $e$, qui envoie $(c_1)$ sur $(c)$, $f$ qui envoie $(c_2)$ sur $(c)$, et $d$ qui envoie $(c_1)$ sur $(c_2)$.

    On a évidemment $d=f^{-1}\circ e$, ce qui implique que les centres des homothéties sont alignés : ce sont les points $D, E, F$.

    Démonstration qui rappelle les arguments développés pour les figures 6.2. Un point troublant : les figures précédentes, 6.5.1 à 6.5.5, illustrent toutes les propriétés de l’axe radical, et on aurait pu imaginer que la section 6.5 visait à tresser ses louanges. Il n’en est rien !

    .
    Peut-on alors imaginer une autre approche ? (à mon tour de m’inquiéter)

    Document joint : idm6-5-6.jpg
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    • 6.5.6

      le 9 juin à 16:55, par Hébu

      En réfléchissant bien, on peut assaisonner la figure d’axes radicaux !
      .
      J’ai modifié (un peu) l’énoncé) :

      Deux cercles — sécants ou non — notés $(c_1)$ de centre $B$ et $(c_2)$, centre $C$), leurs tangentes extérieures se croisent en $D$.

      Une sécante quelconque issue de $D$ coupe les cercles en $E, J, K, F$ (dans cet ordre, $E,K$ sur $(c_1)$, $J,F$ sur $(c_2)$.

      Il s’agit maintenant de montrer que l’on peut trouver un cercle, tangent à $(c_1)$ en $E$ et à $(c_2)$ en $F$ (l’alignement D,E,F étant ici donné par construction)

      .
      On montre d’abord : Les points $E,F,H,G$, et $J,K,H,G$ sont cocycliques
      .
      L’homothétie de centre $D$ qui envoie $(c_1)$ sur $(c_2)$ envoie $(GK)$ sur $(HF)$, ce qui implique $\widehat{FHG}=\widehat{KGD}=\pi-\widehat{KED}$, c’est à dire $\widehat{FHG}+\widehat{FEG}=\pi$ : $E, F, H, G$ sont cocycliques (j’appelle $(c_3)$ ce cercle (il faudrait utilier des angles de droites, plutôt).

      Même raisonnement à partir de $GE$ et $HK$, d’où on tire $G, H, J, K$ cocycliques, cercle $(c_4)$.

      Et maintenant, un axe radical :

      .

      $(EG)$ et $(FH)$, axes radicaux des couples de cercle $(c_1-c_3)$ et $(c_2-c_3)$ sont concourants en un point $S$, situé sur l’axe radical des cercles $(c_1)$ et $(c_2)$ (on le trace facilement, si les cercles ne sont pas sécants, en prenant la perpendiculaire à $(BC)$ menée du milieu de $DE$, cf. le 6.5.2).

      .
      Grâce à l’homothétie de centre $D$, on sait que $(EG)$ // $(HJ)$. Cela implique que les triangles $FHJ$ et $FSE$ sont semblables, le second se déduisant du premier par une homothétie $h$ de centre $F$.

      L’homothétique du cercle $(c_2)$, $h(c_2)$ sera un cercle circonscrit au triangle $FSE$, et tangent à $(c_2)$ en $L$.

      De même, puisque $(GK)$ // $(FH)$, une homothétie $h'$ de centre $E$ transformera $(c_1)$ en un cercle, circonscrit au triangle $FSE$, et tangent à $(c_1)$ en $E$.

      Le cercle circonscrit à $FSE$ étant unique, on a bien exhibé le cercle, tangent à $(c_1)$ et $(c_2)$ en $E$et $F$

      Document joint : idm6-5-6-2.jpg
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      • 6.5.6

        le 11 juin à 08:02, par Sidonie

        Que d’efforts pour rester dans le sujet, mais bravo quand même, mélange d’homothéties ( voie naturelle) et d’axes radicaux (sujet de la série). J’avais un peu cherché à la suite de votre précédent message mais en restant dans la construction initiale.

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