Figure sans paroles #6.5.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 6.5.9

    le 29 de junio à 00:27, par Sidonie

    Deux cercles de centres O et P, notés (o) et (p) se coupent en A et B. Leurs tangentes communes se coupent en T. Les tangentes à (p) et (o) en A et B se coupent en C et D. E est un point du segment [AB]. (CE) coupe (p) en H et I, (DE) coupe (o) en F et G.
    Il faut prouver les alignements T, G, I et T, F, H.
    La tangente en G à (o) coupe (AB) en Q.
    (AB) est la polaire de D par rapport à (o). Réciproquement, comme Q appartient à (AB), sa polaire par rapport à (o) passe par D, elle passe aussi par G c’est donc (BG) et (QF) est tangente à (o).
    E est sur (BG) donc E et Q partagent harmoniquement A et B et donc E appartient aussi à la polaire de Q par rapport à (p), de même que C pour la même raison que pour D, cette polaire est donc (CE) et alors (QH) et (QI) sont tangentes à (p).
    (AB) est l’axe radical de (o) et (p) donc ces 4 tangentes ont la même longueur. Le cercle (q) de centre Q passant par G, passe aussi par F, H et I.
    (QG) et (OG) sont perpendiculaires donc (OG) est tangente à (q), de même (PI) est tangente à (q).
    (OG) coupe (PI) en S et (GI) recoupe (p) en J. SGI et PJI sont deux triangles isocèles semblables, puisqu’ayant un angle commun donc (OG) et (PJ) sont parallèles.
    L’homothétie de centre T qui transforme (o) en (p), transforme O en P, (OG) en (PJ) et donc G en J donc T et I sont alignés avec G et J.
    Une même argumentation, avec une figure plus délicate à réaliser, montre l’alignement T, F et H.

    Document joint : fsp_6.5.9.jpg
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    • 6.5.9

      le 29 de junio à 17:35, par Hébu

      Magnifique utilisation des propriétés des polaires ! Qui volent la vedette à l’axe radical.

      J’étais parti, bille en tête et sûr de moi, sur des cercles: H et F, complétés par les points de contact des tangentes issues de T, sont cocycliques, de même que G, I et ces mêmes points. Et comme les points de tangence sont cocycliques, la considération des axes radicaux faisait de T le centre radical de tout ce petit monde — et le tour était joué.

      Mais il aurait fallu démontrer la cocyclicité de H, F et les points de tangence ...

      Le sage l’a dit: «pour qui possède un marteau, etc».

      Bravo donc d’avoir trouvé le bon angle d’attaque !

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