Figure sans paroles #6.6.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.6.1

    le 12 juillet à 15:12, par Hébu

    Trois cercles, de centres $A,B,C$, et de même rayon $r$ se coupent en un point $E$. On note les autres intersections : $D$ (cercles $(a)$ et $(b)$), $F$ (cercles $(b)$ et $(c)$, $G$ (cercles $(a)$ et $(c)$.

    Le cercle passant par $D,F,G$ a même rayon $r$.

    .
    .
    On peut voir le point $E$, équidistant des points $A, B$ et $C$ comme le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. On pourrait donc ajouter un cercle supplémentaire, de centre $E$ et de même rayon $r$, cercle circonscrit à $ABC$.

    Les quadrilatères $ADBE$, $AGCE$, $CFBE$ sont des losanges : $AD // CF$, etc (parce que $AD // BE$, $BE//CF$). Le quadrilatère $ADFC$, dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme, et donc $DF$ et $AC$ sont aussi parallèles et de même longueur.

    Même traitement pour $AB$ et $FG$, $BC$ et $DG$. Ainsi, les deux triangles $ABC$ et $FGD$ sont égaux (tous côtés égaux). Leurs cercles circonscrits ont donc même rayon.

    Document joint : idm6-6-1.jpg
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    • 6.6.1

      le 13 juillet à 00:16, par Sidonie

      Démonstration alternative à partir du triangle ABC dont E est le centre du cercle circonscrit et D, F et G ses symétriques par rapport à (AB), (BC) et (CA).
      H est l’orthocentre dont les symétriques I, J et K par rapport à (AB), (BC) et (CA) appartiennent au cercle circonscrit.
      E et I sont symétriques de D et H par rapport à (AB) donc EI = HD. On aura de même EJ = HF et EK = HG. Donc D, F et G sont sur un cercle de centre H, de même rayon que le cercle circonscrit et donc que les 3 autres.

      Document joint : fsp_6.6.1.jpg
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      • 6.6.1

        le 13 juillet à 11:49, par Hébu

        Très astucieux, et très joli ! J’achète !!!

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