Figure sans paroles #6.6.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.6.2

    le 21 juillet à 17:19, par Hébu

    On se donne deux cercles, de rayons de même longueur, de centres $A$ et $B$. On note $C, D$ leurs points d’intersection.

    Depuis $C$, on mène deux sécantes, et on appelle $E$, $F$ leurs intersection avec $(A)$, et $G$, $H$ leur intersection avec $(B)$ (Sur la figure telle que proposée, les sécantes se situent de part et d’autre de $(CD)$, mais la propriété que l’on piste reste vraie si les deux sécantes sont du même côté).

    On appelle $I$ le milieu de $CD$, $J$ et $K$ ceux de $FG$ et $EH$.

    Il faut montrer l’alignement de $I, J, K$.

    .

    Je bute sur la solution — enfin, ce que je pense être la bonne. Les calculs d’angles montrent facilement que les triangles $AEF$ et $BHG$ sont égaux (ils sont isocèles, l’angle au sommet vaut 2 fois $\widehat{FCE}=\widehat{HCG}$).

    .
    $I$ milieu de $CD$ est évidemment milieu de $AB$.

    On a donc la situation suivante : les deux triangles $AEF$ et $BHG$ triangles égaux, et
    - I, milieu de AB
    - K, milieu de EH
    - J, milieu de FG

    Dans cette situation, les points I,K,J , milieux des sommets homologues des deux triangles égaux, sont alignés.

    (le fait que nos triangles soient isocèles est sans importance).

    .
    Cela a l’air d’un résultat classique ? Je pense à une solution qui utiliserait des vecteurs, et Chasles, mais 1/ il faut que je l’écrive correctement et 2/ je n’aime pas ces solutions qui donnent l’impression d’une manipulation de bonneteau

    Alors, je lance ma bouteille à la mer.

    Document joint : idm6-6-2.jpg
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