Figure sans paroles #6.7.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 6.7.8

    le 27 de septiembre à 19:24, par Reine

    Les données sont ici : trois points alignés, $P$, $R$ et $Q$, dans cet ordre ; les cercles $C_1$ de diamètre $PR$, $C_2$ de diamètre $RQ$ et $C_3$ de diamètre $PQ$ ; et la droite $D$ perpendiculaire à $PRQ$ au point $R$. La figure suggère que le cercle $C_4$ tangent à la droite $D$ et aux cercles $C_1$ et $C_3$ est égal au cercle $C_5$ tangent à la droite $D$ et aux cercles $C_2$ et $C_3$.

    Au lieu de montrer directement cette égalité (je regrette de ne pas y être parvenue), je vais calculer séparément la taille des deux cercles $C_4$ et $C_5$, puis vérifier que le résultat est le même. Il suffit de calculer la taille de $C_5$ ; celle de $C_4$ s’en déduira en permutant $P$ et $Q$ ainsi que $C_1$ et $C_2$.

    L’inversion $I$ de pôle $P$ qui échange les points $Q$ et $R$ laisse globalement invariant le cercle $C_2$ et échange la droite $D$ avec le cercle $C_3$ ; le cercle $C_5$ (tangent à $D$, $C_2$ et $C_3$) devient le cercle tangent à $C_3$, $C_2$ et $D$, c’est-à-dire $C_5$ lui-même : tout comme $C_2$, il est invariant par $I$. Appelons maintenant $U$ le point de contact entre $C_2$ et $C_5$. Son image par $I$ est le point de contact entre $I(C_2)$ et $I(C_5)$, c’est-à-dire $U$, et il est invariant par $I$ ; et $PU^2$ est donc égal à la puissance de $I$, qui est aussi la puissance $\,\overline{\!PR}\,\,\,\overline{\!PQ}$ de $P$ par rapport à $C_2$. Ceci dit que la droite $\,PU$ est tangente en $U$ à $\,C_2$.

    Le point $U$, où se touchent $C_2$ et $C_5$, est aussi le centre d’une homothétie qui transforme $C_2$ en $C_5$ ; la taille de $C_5$ étant le produit de celle de $C_2$ par la valeur absolue du rapport d’homothétie, il suffira de calculer cette valeur absolue — appelons-la $k$.

    Soit $V$ le point où $C_5$ touche $D$. L’image inverse de $V$ par l’homothétie est le point de $C_2$ où la tangente est parallèle à $D$ sans être $D$, c’est-à-dire le point $Q$. Le rapport $k$ est donc $UV\,/\,UQ$. En appelant $H$ la projection de $U$ sur la droite $PRQ$, Thalès dit que $k$ vaut aussi $HR\,/\,HQ$. Mais, $PU$ étant tangente à $C_2$, la polaire de $P$ par rapport à $C_2$ n’est autre que $UH$ ; ainsi, $(P\,H\,R\,Q)$ est une division harmonique, d’où $PR\,/\,PQ=HR\,/\,HQ=k$.

    Finalement, le diamètre de $C_5$, qui vaut $k$ fois le diamètre de $C_2$, est donné par $PR\>RQ\>/\>PQ$. Celui de $C_4$ s’obtient en échangeant $P$ et $Q$, et l’on constate (mais sans comprendre pourquoi) qu’ils sont égaux.

    Document joint : figure-6-7-8.pdf
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  • Suite de la remarque précédente

    le 30 de septiembre à 21:00, par Reine

    Voici une tentative pour comparer plus directement les deux cercles, au lieu de les évaluer séparément.

    Reprenons les mêmes notations, en rappelant que la droite $PU$ est tangente en $U$ aux deux cercles $C_2$ et $C_5$. Soit $K$ le point où la droite $PU$ coupe $D$. Les deux tangentes menées de $K$ à $C_5$ (respectivement à $C_2$) sont $KV$ et $KU$ (respectivement $KU$ et $KR$) ; on a donc $KV=KU=KR$, et $K$ est ainsi le milieu de $RV$. Le cercle symétrique de $C_5$ par rapport au point $K$ (appelons-le $C'_5$), qui a la même taille que $C_5$, est donc tangent en $R$ à $D$ et tangent à $PU$ (figure 1 ci-jointe).

    On a de même un cercle $C'_4$, égal à $C_4$, qui est tangent en $R$ à $D$ et tangent à la tangente menée de $Q$ à $C_1$ (figure 2 ci-jointe), et il s’agit de montrer l’égalité de $C'_4$ et $C'_5$.

    Or cette égalité est établie dans une situation bien plus générale, celle de la Figure sans Paroles 6.2.2, par Sidonie, avec en outre une variante de Hébu. Je rappelle rapidement comment ils procèdent : Partant du cercle $C'_5$, ils lui font subir d’abord l’homothétie de centre $P$ et de rapport $PQ\,/\,PR$, qui le transforme en $C_2$, puis l’homothétie de centre $R$ et de rapport ${}-RP\,/\,RQ$, qui en fait $C_1$, et enfin l’homothétie de centre $Q$ et de rapport $QR\,/\,QP$, qui le change en $C'_4$. Le produit des trois rapports d’homothétie étant $-1$, les cercles sont égaux.

    Document joint : figure-6-7-8-suite.pdf
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