Figure sans paroles #6.7.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 6.7.8

    le 27 septembre à 19:24, par Reine

    Les données sont ici : trois points alignés, $P$, $R$ et $Q$, dans cet ordre ; les cercles $C_1$ de diamètre $PR$, $C_2$ de diamètre $RQ$ et $C_3$ de diamètre $PQ$ ; et la droite $D$ perpendiculaire à $PRQ$ au point $R$. La figure suggère que le cercle $C_4$ tangent à la droite $D$ et aux cercles $C_1$ et $C_3$ est égal au cercle $C_5$ tangent à la droite $D$ et aux cercles $C_2$ et $C_3$.

    Au lieu de montrer directement cette égalité (je regrette de ne pas y être parvenue), je vais calculer séparément la taille des deux cercles $C_4$ et $C_5$, puis vérifier que le résultat est le même. Il suffit de calculer la taille de $C_5$ ; celle de $C_4$ s’en déduira en permutant $P$ et $Q$ ainsi que $C_1$ et $C_2$.

    L’inversion $I$ de pôle $P$ qui échange les points $Q$ et $R$ laisse globalement invariant le cercle $C_2$ et échange la droite $D$ avec le cercle $C_3$ ; le cercle $C_5$ (tangent à $D$, $C_2$ et $C_3$) devient le cercle tangent à $C_3$, $C_2$ et $D$, c’est-à-dire $C_5$ lui-même : tout comme $C_2$, il est invariant par $I$. Appelons maintenant $U$ le point de contact entre $C_2$ et $C_5$. Son image par $I$ est le point de contact entre $I(C_2)$ et $I(C_5)$, c’est-à-dire $U$, et il est invariant par $I$ ; et $PU^2$ est donc égal à la puissance de $I$, qui est aussi la puissance $\,\overline{\!PR}\,\,\,\overline{\!PQ}$ de $P$ par rapport à $C_2$. Ceci dit que la droite $\,PU$ est tangente en $U$ à $\,C_2$.

    Le point $U$, où se touchent $C_2$ et $C_5$, est aussi le centre d’une homothétie qui transforme $C_2$ en $C_5$ ; la taille de $C_5$ étant le produit de celle de $C_2$ par la valeur absolue du rapport d’homothétie, il suffira de calculer cette valeur absolue — appelons-la $k$.

    Soit $V$ le point où $C_5$ touche $D$. L’image inverse de $V$ par l’homothétie est le point de $C_2$ où la tangente est parallèle à $D$ sans être $D$, c’est-à-dire le point $Q$. Le rapport $k$ est donc $UV\,/\,UQ$. En appelant $H$ la projection de $U$ sur la droite $PRQ$, Thalès dit que $k$ vaut aussi $HR\,/\,HQ$. Mais, $PU$ étant tangente à $C_2$, la polaire de $P$ par rapport à $C_2$ n’est autre que $UH$ ; ainsi, $(P\,H\,R\,Q)$ est une division harmonique, d’où $PR\,/\,PQ=HR\,/\,HQ=k$.

    Finalement, le diamètre de $C_5$, qui vaut $k$ fois le diamètre de $C_2$, est donné par $PR\>RQ\>/\>PQ$. Celui de $C_4$ s’obtient en échangeant $P$ et $Q$, et l’on constate (mais sans comprendre pourquoi) qu’ils sont égaux.

    Document joint : figure-6-7-8.pdf
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques