Figure sans paroles #6.7.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Suite de la remarque précédente

    le 30 septembre à 21:00, par Reine

    Voici une tentative pour comparer plus directement les deux cercles, au lieu de les évaluer séparément.

    Reprenons les mêmes notations, en rappelant que la droite $PU$ est tangente en $U$ aux deux cercles $C_2$ et $C_5$. Soit $K$ le point où la droite $PU$ coupe $D$. Les deux tangentes menées de $K$ à $C_5$ (respectivement à $C_2$) sont $KV$ et $KU$ (respectivement $KU$ et $KR$) ; on a donc $KV=KU=KR$, et $K$ est ainsi le milieu de $RV$. Le cercle symétrique de $C_5$ par rapport au point $K$ (appelons-le $C'_5$), qui a la même taille que $C_5$, est donc tangent en $R$ à $D$ et tangent à $PU$ (figure 1 ci-jointe).

    On a de même un cercle $C'_4$, égal à $C_4$, qui est tangent en $R$ à $D$ et tangent à la tangente menée de $Q$ à $C_1$ (figure 2 ci-jointe), et il s’agit de montrer l’égalité de $C'_4$ et $C'_5$.

    Or cette égalité est établie dans une situation bien plus générale, celle de la Figure sans Paroles 6.2.2, par Sidonie, avec en outre une variante de Hébu. Je rappelle rapidement comment ils procèdent : Partant du cercle $C'_5$, ils lui font subir d’abord l’homothétie de centre $P$ et de rapport $PQ\,/\,PR$, qui le transforme en $C_2$, puis l’homothétie de centre $R$ et de rapport ${}-RP\,/\,RQ$, qui en fait $C_1$, et enfin l’homothétie de centre $Q$ et de rapport $QR\,/\,QP$, qui le change en $C'_4$. Le produit des trois rapports d’homothétie étant $-1$, les cercles sont égaux.

    Document joint : figure-6-7-8-suite.pdf
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