Figure sans paroles #6.7.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.7.9

    le 4 octobre à 23:57, par Sidonie

    O est le centre du cercle (O) circonscrit au triangle ABC rectangle en C. Les tangentes en B et C se coupent en D.E est le milieu de l’arc AC et F est le milieu de [BC]. (EF) recoupe le cercle en G.

    Il s’agit de montrer que (DG) et (EG) sont perpendiculaires.

    H est diamétralement opposé à E. On a naturellement (FG) et (GH) perpendiculaires.
    On considère le triangle HBC. D est un sommet de son triangle tangentiel donc (DH) est une symédiane. J’ai démontré dans une figure précédente que je ne retrouve plus que H, sommet du triangle, O, centre du cercle circonscrit, F, milieu du côté [BC] et le point d’intersection de la symédiane étaient cocycliques. L’angle droit en O fait de (FH) un diamètre et donc de G un point de ce cercle. Il appartient aux 2 cercles c’est donc un point de la symédiane (DH) et on a bien l’orthogonalité puisque (DH) = (GH)

    Document joint : fsp_6.7.9.jpg
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    • 6.7.9 Complément

      le 5 octobre à 08:26, par Sidonie

      Je m’aperçoit que j’ai oublié de justifier l’angle droit en O.
      E étant le milieu de l’arc AC, (OE) est la médiatrice de [AC] et est donc parallèle à (BC) . Par suite elle est perpendiculaire à (DO).

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  • 6.7.9

    le 5 octobre à 11:12, par Reine

    Voici une autre façon de voir les choses.

    La polaire de D par rapport au cercle étant BC, les points D et F sont conjugués par rapport au cercle. Par ailleurs, le diamètre perpendiculaire à DF est EH. D’après ce que l’on pourrait appeler le troisième principe de Sidonie, [1] la conjugaison de D et F revient à dire que F est l’orthocentre du triangle $\,$DEH.

    La droite EF est donc la hauteur de ce triangle relative au côté DH, le pied de la hauteur étant la projection de H sur cette droite, c’est-à-dire le point G où EF recoupe le cercle.

    [1C’est le dernier des trois critères formulés dans ma réponse à sa réponse à mon commentaire sur son commentaire de la Figure sans Paroles 6.7.7

    Document joint : figure-6-7-9.pdf
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    • 6.7.9

      le 5 octobre à 18:21, par Hébu

      J’aime beaucoup cette utilisation de la polaire !

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    • 6.7.9

      le 6 octobre à 23:09, par Sidonie

      Vous avez la courtoisie de me citer dans votre efficace démonstration et je vous en remercie. Et de plus vous m’aidez à trouver une démonstration plus simple du cercle dont je n’ai pas retrouvé la trace. Soit I l’inversion de pôle O et dont le cercle est le cercle d’inversion. D a pour image F et l’image de la symédiane est le cercle passant par O, H, l’autre point d’intersection qui deviendra G et F. Auparavant, j’utilisais des égalités d’angles et une hauteur (à croire qu’on ne peut pas s’en passer)

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