Figure sans paroles #6.8.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.14

    le 11 janvier à 17:14, par Sidonie

    Deux cercles (A) et (B) sécants. C un des points d’intersection. Un flopée de cercles tangents 2 à 2 et tangents à (A) et (B).
    Il s’agit de prouver que les points de tangences sont cocycliques.
    Un de ces cercles est (F) tangent en D à (A), en E à (B) et en T à son voisin (K).
    (DE) coupe (AB) en G et recoupe (A) et (B) en I et J.
    Pour alléger l’écriture a et b sont les rayons de (A) et (B). a’ = GA et b’ = GB. d = GD et e = GE. r = GC
    Les triangles DFE, DAI et JBE sont isocèles semblables de même AGI et BGE qui ont deux angles égaux. Donc a/a’ = b/b’ et (CG) devient la bissectrice de (CA,CB).
    En notant α le demi angle de (CA,CB)et en appliquant la loi du cosinus à AGC et BGC il vient :
    a’² = a² + r² - 2ar cos(α) et b’² = b² + r² - 2br cos(α). En isolant cos(α) et en égalant :
    (a² + r² - a’²)/2ar = (b² + r² - b’²)/2br puis ba² + br² - ba’² = ab² + ar² - ab’² d’où
    (b – a)r² = (b – a)ab - ab’² + ba’² = (b – a)ab – (b - a)a’b’ puisque ab’ = a’b
    Pour finir r² = ab – a’b’.
    La loi du cosinus appliquée aux triangles AGD et BGE qui ont les angles (DA,DG) et (EG,EC) égaux donne après avoir isolé le cosinus :
    (a² + d² - a’²)/2ad = (b² + e ² - b’²)/2be en réduisant au même dénominateur et en utilisant les égalités ba’² = aa’b’ et ab’² = ba’b’ il vient :
    de(bd – ae) = ab(bd – ae) – a’b’(bd – ae) d’où de = ab – a’b’ = r²
    Or de est la puissance de G par rapport (F) et r est la longueur des tangentes issues de G à (F) et à chacun des cercles de la ribambelle. En particulier G est sur l’axe radical de (F) et (K) qui est leur tangente commune en T donc GT = r et donc en répétant de proche en proche les points de contact sont sur le cercle de centre G et de rayon r.

    Document joint : fsp_6.8.14.jpg
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    • 6.8.14

      le 11 janvier à 17:50, par Hébu

      Impressionnant. Bravo !!!

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      • 6.8.14

        le 11 janvier à 19:59, par Sidonie

        Merci, je pense avoir le droit d’ôter le bonnet d’âne dont je me suis coiffée la semaine passée.

        Répondre à ce message

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