Figure sans paroles #6.9.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.9.9

    le 21 mars à 17:15, par Hébu

    Deux cercles, de centres $A$ et $B$, sont tangents à une même droite en $C$ et $D$. La droite des centres $(AB)$ coupe chaque cercle en $E$ et $F$. On note $I$ l’intersection de $(CE)$ et $(DF)$, et $J$ le milieu de $[CD]$.

    Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont orthogonales.

    .

    Les points $C,E,F,D$ sont cocycliques, de sorte que $IE\times IC=IF\times ID$ : $I$ est sur l’axe radical des deux cercles.

    D’autre part, puisque $J$ est milieu de $CD$, il est également sur cet axe radical. $IJ$ est donc l’axe radical, qu’on sait être perpendiculaire à la ligne des centres.

    .
    Nota : $C,E,F,D$ cocycliques : on est déjà tombés sur cette propriété. Sinon : je note $K$ l’autre intersection de $(AB)$ avec le cercle de centre $A$, et $L$ l’intersection de $(CD)$ et $(AB)$.
    L’homothétie de centre $L$, qui envoie $(A)$ sur $(B)$ fait $KC // DF$. D’où $(CK,CL)=(DF,DL)=(EK,EC)$.

    Document joint : idm-6-9-9.jpg
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    • Un peu plus général

      le 22 mars à 17:50, par Reine

      Votre démonstration montre mieux que ce que suggère le site : on a le même résultat, mais sous une hypothèse plus faible. Le point E peut être pris arbitrairement sur le cercle (A) ; et F doit alors être celui des deux points d’intersection de LE avec (B) qui n’est pas l’image de E par l’homothétie centrée en L et envoyant (A) sur (B) (L étant toujours l’intersection de AB et CD). La droite IJ n’est alors plus perpendiculaire à EF, mais reste l’axe radical, perpendiculaire à AB.

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      • Un peu plus général

        le 22 mars à 21:18, par Hébu

        Excellente généralisation, ou plutôt découverte d’une propriété cachée

        Une fois de plus, la figure contenait, cachée, des propriétés que seule la subtilité des observateurs peut mettre en avant. Euclide aurait pu fonder l’Ougépo (ouvroir de géométrie potentielle)...

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