Figure sans paroles #6.10.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.6

    le 2 mai à 17:40, par Sidonie

    Deux cercles, notés (F) et (G), sont sécants en A et B. Les tangentes en A les recoupent en C et D. Je note (A) le cercle passant par A, C et D. Les tangentes en C et D à (A) se recoupent en E.
    Il conviendrait de démontrer que A, B et E sont alignés.
    (EC) coupe (F) en F et (ED) coupe (G) en G.
    On a EC = ED et donc (CE,CD) = (DC,DE)
    (CE) est tangente à (A) donc (CE,CD) = (AC,AD)
    (AD) est tangente à (F) donc (AC,AD) = (FC,FA) d’où (CE,CD) = (FC,FA) et (FA)//(CD)
    (AC) est tangente à (G) donc (AC,AD) = (GA,GD) d’où (DC,DE) = (GA,GD) et (GA) // (DC)
    Les points A, F et G sont alignés et le triangle EFG est isocèle avec EF = EG
    EC.EF = ED.EG donc E a même puissance par rapport à (F) et (G).
    Il appartient à leur axe radical qui n’est autre que (AB)
    On a, de plus, B, C, E et D cocycliques : en effet (BC,BE) = (BC,BA) = (FC,FA) = (CE,CD) = (DC,DE)

    Document joint : fsp_6.10.6.jpg
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    • 6.10.6

      le 2 mai à 22:25, par Hébu

      Une autre preuve — identique, en fait mais à l’envers...

      Le cercle qui passe par A, C, D a son centre H intersection des médiatrices de AC et AD. Médiatrices qui passent par P et Q, centres des cercles (F) et (G) (les notations s’adaptent mal...), et sont // à AQ et AP. AQHP est donc un parallélogramme, et par exemple les angles (AP,AQ) et (PH,PA) sont supplémentaires. Si je note w la mesure de (AP,AQ), une foultitude d’angles s’en déduisent. Ainsi (PH,PA)=-w ; (PC,PA)=-2w, (FC,FA)=-w, (BA,BC)=w, (AC,AD)=-w, etc.

      De même, (QA,QD)=-2w et (BD,BA)=w.

      D’où (BC,BD)=(BC,BA)+(BA,BD)=-2w.

      Maintenant (HC,HD)=2*(AC,AD)=-2w : C,H,B,D,E sont cocycliques, de sorte que (BC,BE)=(HC,HE)=-w, et ((BA,BC)+(BC,BE)=0, ce qui montre l’alignement A,B,E.

      Et on en déduit aisément que F,A,G sont alignés, FG//CD, etc.

      Document joint : idm6-106bis.jpg
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      • 6.10.6

        le 6 mai à 23:53, par Sidonie

        Juste pour s’amuser, on démontre aisément que (BA) est la bissectrice de (BC,BD). La cocyclité de B, C, E, D fait de BCED un quadrilatère inscriptible, [CD] est une diagonale dont la médiatrice passe par E.
        Et maintenant je vous cite (cf fsp 5.5.3) : La médiatrice de la diagonale d’un quadrilatère inscriptible coupe le cercle en deux points extrémités des bissectrices des angles des deux autres sommets du quadrilatère.
        Donc (BE) est aussi la bissectrice de (BC,BD) et donc confondue avec (BA).

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        • 6.10.6

          le 1er juin à 21:53, par Hébu

          Et on m’a pas encore décerné la médaille Field ???

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