Figure sans paroles #6.10.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.8

    le 17 mai à 21:35, par Hébu

    On se donne deux cercles, de centres A et B, tangents en un point C.
    Depuis un point D, extérieur aux cercles, on trace les tangentes DE et DF aux cercles (A) et (B).

    Un troisième cercle, passant par C, E et F, on appelle H son centre.
    Il faut montrer que D, E, F, H sont cocycliques.

    .
    Encore une histoire d’angles.

    Je note J l’intersection de (AE) et (BF). A cause des angles droits en E et F, DJ est le diamètre d’un cercle passant par E et F.

    Le pentagone DEABF permet d’estimer la valeur de l’angle (DE,DF). On a (DE,DF)=-(BF,BA)-(AB,AE). Si j’appelle (d) la tangente commune en C aux deux cercles, 2*(d,CE)=(AB,AE) et 2*(CF,d)=(BF,BA) (angles inscrits), soit finalement (DE,DF)=-2*(CF,CE)=2*(CE,CF).

    Quant à (HE,HF), c’est l’angle au centre qui intercepte l’arc FE du cercle (H). De sorte que (HE,HF)=2*(CE,CF)

    .
    On doit pouvoir se passer de la référence au pentagone (mais pourquoi le faire ?).

    Document joint : idm-6-10-8.jpg
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    • Une variante

      le 19 mai à 15:25, par Reine

      Une variante, guère différente de votre argument, mais sans pentagone (ni, d’ailleurs, vos points $A$ et $B$). Si $U$ et $V$ sont deux cercles (ou un cercle et une droite) se coupant en un point $I$, je noterai ${(U,V)}_I$ l’angle entre $U$ et $V$ au point $I$, c’est-à-dire l’angle de droites orientées que font les tangentes en ce point. Si $J$ est l’autre point d’intersection, on a toujours, par symétrie ou par le théorème des angles inscrits, ${(U,V)}_I=-{(U,V)}_J$.

      Ici nous avons deux cercles, $\alpha$ et $\beta$, tangents en un point $C$ (extérieurement sur la figure proposée et sur la vôtre, intérieurement sur la figure jointe ; cela ne change rien). Un troisième cercle, $\gamma$, de centre $H$, passe aussi par $C$ et recoupe respectivement $\alpha$ et $\beta$ en $E$ et $F$ ; les tangentes en $E$ à $\alpha$ et en $F$ à $\beta$ se coupent en $D$.

      On a ${(\alpha,\gamma)}_E=-{(\alpha,\gamma)}_C=-{(\beta,\gamma)}_C={(\beta,\gamma)}_F$ ; les droites $ED$ et $FD$ font ainsi en $E$ et $F$ le même angle avec $\gamma$. La rotation de centre $H$ qui envoie $E$ sur $F$ tout en préservant $\gamma$ envoie donc la droite $ED$ sur la droite $FD$ ; l’angle entre ces droites est donc l’angle de la rotation, d’où $(ED,FD)=(HE,HF)$, et la cocyclicité cherchée.

      Document joint : figure-6-10-8.pdf
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      • Oups !

        le 21 mai à 13:58, par Reine

        Une bévue : j’ai écrit « l’angle de droites orientées », mais il n’est pas question de droites orientées ! C’est bien d’un angle de droites orienté qu’il s’agit ; il est comme d’habitude défini modulo $\pi$.

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        • Oups !

          le 1er juin à 21:42, par Hébu

          J’avais autrefois un message qui me disait qu’un commentaire apparaissait, ce n’est plus le cas : je réagis donc avec retard.

          Votre commentaire conduit à faire la distinction entre « l’angle de droites orientées » et « l’angle de droites orienté ».

          D’où l’importance du « s », de l’ortaugrafe en mathématiques — et de l’impossibilité d’une démonstration orale , le français oral ne différenciant pas systématiquement le genre et le nombre

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          • Oups !

            le 2 juin à 09:47, par Reine

            Vous n’avez pas reçu de message parce que je n’avais pas soumis mon Oups du 21 mai comme réponse à votre 6.10.8 du 17 mai, mais à mon Une variante du 19 mai ; c’est donc moi-même qui ai reçu l’avis de réponse. C’est aussi moi qui ai été avisée du Une variante de Sidonie le 21 mai, car elle répondait à mon 19 mai. Je ne crois pas que l’on puisse proposer un commentaire comme réponse à deux messages à la fois.

            Et pour les démonstrations, aussi bien assénées que subies, je préfèrerais l’oral (surtout au tableau) à l’écrit !

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      • Une variante

        le 21 mai à 16:25, par Sidonie

        Autre Démonstration : (d) coupe en K la médiatrice de [EC] qui passe par A et H et en L la médiatrice de [FC] qui passe par B et H .
        (DE,DF) = (DK,DL) = (KD,KL) + (LK,LD) = 2(KH,KL) + 2(LK,LH) = 2(HK,HL) = 2(HA,HB)
        (HE,HF) = (HE,HC) + (HC,HF) = 2(HA,HC) + 2(HC,HB) = 2(HA,HB)
        D’où (DE,DF) = (HE,HF) et la cocyclité cherchée.

        Document joint : fsp_6.10.8.jpg
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