Figure sans paroles #6.10.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.10

    le 30 mai à 11:49, par Sidonie

    Deux cercles (A) et (B) sont sécants en C et D. (EF) est une tangente commune. (CD) coupe (EF) en M. G est le symétrique de C par rapport à M. (GE) et (GF) recoupent (A) et (B) en H et I.
    Il s’agit de monter que C, H et I sont alignés.
    (AB) et (EF) se coupent en J.
    M appartient à l’axe radical (BC) de (A) et (B) donc il est le milieu de [EF] et le quadrilatère CEGF est un parallélogramme.
    h est l’homothétie de centre J qui transforme A en B . (AE) // (BF) d’où h(E) = F et h((A)) = (B)
    Comme (EH) // (FC) alors l’image de (EH) est (FC) puis h(H) = C d’où J, C et H alignés
    En reprenant la démonstration avec (EC) // (FI) il vient h(C) = I et J, C et I alignés.

    Document joint : fsp_6.10.10.jpg
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    • 6.10.10

      le 30 mai à 16:59, par Hébu

      Jolie utilisation de l’homothétie !
      .

      J’avais une proposition plus rustique, à base d’angles...

      .
      CEGF est un parallélogramme. On observe les triangles CHG et CGI :

      • dans CHG, (CH,CG)=(GH,GC)+(HC,HG) ;
      • dans CGI, (CG,CI)=(GC,GI)+(IG,IC).

      Mais,

      • (GH,GC)=(CF,CG) et (GC,GI)=(CG,CE), à cause du parallélogramme ;
      • (HC,HG)=(EC,EF) et (IG,IC)=(FE,FC), à cause des angles inscrits dans (A) et (B)
      • (EC,EF)+(FE,FC)=(CE,CF) dans le triangle CEF

      .
      Si on somme : (CH,CI)=(CH,CG)+(CG,CI)= (CF,CG)+(CG,CE)+(EC,EF)+(FE,FC)

      Soit (CH,CI)=(CF,CE)+(CE,CF)=0, d’où l’alignement.

      Moins élégant

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      • 6.10.10

        le 31 mai à 22:24, par Sidonie

        Qu’importe l’élégance ; Vous avez la prime de la simplicité. Comme le dit Reine, pour gagner de l’élégance, il faut utiliser des outils qui se construisent avec d’autres outils plus rudimentaires eux mêmes construits ... etc ...
        Ce qui me rappelle une discussion que nous eûmes dans le passé : où s’arrête la nécessité de démontrer.

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        • 6.10.10

          le 1er juin à 21:32, par Hébu

          en fait, tout ça est très compliqué. Si une preuve est dite « plus simple » (n’utilisant pas de notions élaborées), mais qu’elle déroule la suite des démonstrations qui conduisent à ces notions élaborées, alors l’argument de simplicité n’est que démagogie. Les notions élaborées permettent une avancée dans la compréhension (c’est comme un camp intermédiaire dans l’ascension de l’Everest).

          (pour dérouler une autre analogie qui vaut ce qu’elle vaut : je comprends qu’en fermant une fenêtre j’évite les courants d’air. Mais je peux aussi invoquer les équations de Navier-Stokes : plus fondamental, mais plus pédant, et inutile).

          Une proposition « plus simple » n’a d’intérêt que si elle est différente d’un raccourci dans le processus qui conduit, ici, des postulats du vieil Euclide aux notions d’homothétie qui offrent une jolie preuve.

          Et ça, j’ai du mal à le voir...

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