Figure sans paroles #6.10.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.10.14

    le 28 juin à 19:47, par Reine

    On a deux cercles passant par deux points A et B ; une sécante passant par A recoupe l’un en C et l’autre en D. Les bissectrices des deux droites AB et ACD sont deux droites perpendiculaires passant par A ; l’une d’elles (peu importe laquelle ; on pourrait les intervertir) recoupe le cercle ABC en M, l’autre recoupe le cercle ABD en N. Le milieu de CD voit-il le segment MN sous un angle droit ? En d’autres termes, est-il sur le cercle de diamètre MN (qui passe par A) ? Ou encore, le point I où la droite ACD recoupe ce cercle AMN est-il le milieu de CD ?

    Une inversion de pôle A transforme B, C, etc. en b, c, etc. Les cercles ABCM, ABDN et AMNI deviennent des droites bcm, bdn et mni. Comme Am et An sont les deux bissectrices de Ab et Acd, on a un faisceau harmonique (Ab,$\,$Acd,$\,$Am,$\,$An), et, en appelant j l’intersection de Ab et mni, une division harmonique (j,$\,$i,$\,$m,$\,$n), qui, vue du point b, se projette en une division harmonique (A,$\,$i,$\,$c,$\,$d). Ainsi i est le conjugué harmonique de A par rapport à c et d ; son inverse I est donc le milieu du segment CD.

    Document joint : figure-6-10-14.pdf
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