Commentaire sur l'article

• 7.6

  le 1er novembre 2022 à 17:26, par Reine

  Cette figure nous propose un quadrilatère ABCD et l’intersection M de ses diagonales AC et BD, ainsi que quatre points R, S, T et U pris respectivement sur les côtés AB, BC, CD et DA, et quatre autres points R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ placés aux intersections respectives des droites RM, SM, TM et UM avec les côtés CD, DA, AB et BC. Il apparaît que si$\,$ R, S, T et$\,$ U sont alignés$\,$ (sur une droite $\Delta$, en gras sur la figure), alors$\,$ R$'$, S$'$, T$'$ et$\,$ U$'$ le sont aussi$\,$ (sur la droite pointillée $\Delta'$). On peut remarquer que la réciproque s’ensuit d’elle-même, en échangeant R et T$'$, T et R$'$, etc. (Figure 1 jointe.)

  Cet alignement se prouve très simplement dans le cas particulier où ABCD est un parallélogramme (figure 2). La symétrie par rapport à son centre M échange alors les droites AB et CD et envoie donc le point R (qui est sur AB) sur le point intersection de CD et MR, c’est-à-dire R$'$. Elle envoie de même S sur S$'$, etc. ; ainsi R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ sont-ils tous les quatre sur la droite $\Delta'$ symétrique de $\Delta$ par rapport à M.

  Le cas général peut se ramener à ce cas particulier par un raisonnement de géométrie dans l’espace. Appelons (figure 3) P le plan de la figure, I (respectivement J) le point intersection de AB et CD (respectivement BC et DA), et fixons un point O hors de P, puis un plan $\Pi$ parallèle au plan OIJ, mais différent de celui-ci. La projection centrale de pôle O est une transformation ponctuelle h qui envoie les points de P sur ceux de $\Pi$, et son inverse k envoie $\Pi$ sur P. (Exceptions : les points de la droite IJ n’ont pas d’image par h, ni ceux de l’intersection de $\Pi$ avec le plan parallèle à P passant par O d’image par k.) Ces transformations h et k préservent les alignements de points et les concurrences de droites ; pour établir dans P la propriété souhaitée pour le quadrilatère ABCD et la droite $\Delta$, il suffit de le faire dans $\Pi$ pour h(ABCD) et h($\Delta$).

  Or le choix fait ci-dessus de $\Pi$ parallèle au plan OIJ a précisément pour effet de transformer ABCD en un parallélogramme de $\Pi$. En effet, le plan OAB contient la droite OI, qui est parallèle à $\Pi$ ; il coupe donc $\Pi$ selon une droite parallèle à OI ; mais cette droite n’étant autre que h(AB), on voit que h(AB) est parallèle à OI, et, pour la même raison, h(CD) également. Ainsi, h(AB) et h(CD) sont parallèles ; comme, de même, h(BC) et h(DA) sont parallèles (à OJ et entre elles), h(ABCD) est un parallélogramme.

  À cet alignement de R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ sur la droite $\Delta'$, on peut ajouter une petite remarque : les trois droites$\,$ $\Delta$, $\Delta'$ et$\,$ IJ sont concourantes.$\,$ Cela résulte immédiatement de ce que I et J sont tous deux sur la polaire du point M par rapport aux droites $\Delta$ et $\Delta'$.

  Document joint : figure-7-6.pdf
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• Autre point de vue

  le 2 novembre 2022 à 14:54, par Reine

  Le dernier paragraphe de mon commentaire du 1er novembre ci-dessus me suggère une démonstration plus directe, évitant en particulier le recours à l’espace.

  Démarrons avec seulement le quadrilatère ABCD, l’intersection M de ses diagonales AC et BD, et les intersections I des côtés AB et CD et J des côtés BC et DA. Les quatre droites BCJ, ADJ, ACM et BDM forment un quadrilatère complet, dans lequel la diagonale JM est coupée hermoniquement par les deux autres ABI et CDI. On a donc un faisceau harmonique (IM,$\,$IJ,$\,$IAB$\,$,ICD). En conséquence, pour tout point N de la droite IJ, les points M et N sont conjugués harmoniques par rapport aux deux droites ABI et CDI ; et ils le sont aussi, via un argument analogue, par rapport aux deux droites BCJ et DAJ.

  En introduisant maintenant (avec les notations de mon commentaire ci-dessus) une droite $\Delta$ qui coupe les quatre côtés en R, S, T et U et la droite IJ en un point H, on en déduit immédiatement que les points R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ sont alignés sur la polaire de $\Delta$ par rapport aux deux droites HIJ et HM.

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