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• 7.6

  le 1er novembre 2022 à 17:26, par Reine

  Cette figure nous propose un quadrilatère ABCD et l’intersection M de ses diagonales AC et BD, ainsi que quatre points R, S, T et U pris respectivement sur les côtés AB, BC, CD et DA, et quatre autres points R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ placés aux intersections respectives des droites RM, SM, TM et UM avec les côtés CD, DA, AB et BC. Il apparaît que si$\,$ R, S, T et$\,$ U sont alignés$\,$ (sur une droite $\Delta$, en gras sur la figure), alors$\,$ R$'$, S$'$, T$'$ et$\,$ U$'$ le sont aussi$\,$ (sur la droite pointillée $\Delta'$). On peut remarquer que la réciproque s’ensuit d’elle-même, en échangeant R et T$'$, T et R$'$, etc. (Figure 1 jointe.)

  Cet alignement se prouve très simplement dans le cas particulier où ABCD est un parallélogramme (figure 2). La symétrie par rapport à son centre M échange alors les droites AB et CD et envoie donc le point R (qui est sur AB) sur le point intersection de CD et MR, c’est-à-dire R$'$. Elle envoie de même S sur S$'$, etc. ; ainsi R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ sont-ils tous les quatre sur la droite $\Delta'$ symétrique de $\Delta$ par rapport à M.

  Le cas général peut se ramener à ce cas particulier par un raisonnement de géométrie dans l’espace. Appelons (figure 3) P le plan de la figure, I (respectivement J) le point intersection de AB et CD (respectivement BC et DA), et fixons un point O hors de P, puis un plan $\Pi$ parallèle au plan OIJ, mais différent de celui-ci. La projection centrale de pôle O est une transformation ponctuelle h qui envoie les points de P sur ceux de $\Pi$, et son inverse k envoie $\Pi$ sur P. (Exceptions : les points de la droite IJ n’ont pas d’image par h, ni ceux de l’intersection de $\Pi$ avec le plan parallèle à P passant par O d’image par k.) Ces transformations h et k préservent les alignements de points et les concurrences de droites ; pour établir dans P la propriété souhaitée pour le quadrilatère ABCD et la droite $\Delta$, il suffit de le faire dans $\Pi$ pour h(ABCD) et h($\Delta$).

  Or le choix fait ci-dessus de $\Pi$ parallèle au plan OIJ a précisément pour effet de transformer ABCD en un parallélogramme de $\Pi$. En effet, le plan OAB contient la droite OI, qui est parallèle à $\Pi$ ; il coupe donc $\Pi$ selon une droite parallèle à OI ; mais cette droite n’étant autre que h(AB), on voit que h(AB) est parallèle à OI, et, pour la même raison, h(CD) également. Ainsi, h(AB) et h(CD) sont parallèles ; comme, de même, h(BC) et h(DA) sont parallèles (à OJ et entre elles), h(ABCD) est un parallélogramme.

  À cet alignement de R$'$, S$'$, T$'$ et U$'$ sur la droite $\Delta'$, on peut ajouter une petite remarque : les trois droites$\,$ $\Delta$, $\Delta'$ et$\,$ IJ sont concourantes.$\,$ Cela résulte immédiatement de ce que I et J sont tous deux sur la polaire du point M par rapport aux droites $\Delta$ et $\Delta'$.

  Document joint : figure-7-6.pdf
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