Figure sans paroles #1.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 1.10

    le 19 décembre 2019 à 12:03, par quijana

    Soit ABC un triangle. Soit D,E les deux points d’intersection (lorsqu’ils existent) du cercle de diamètre [AB] avec, respectivement, les côtés [BC] et [AC]. Alors le centre du cercle passant par les points C,D et E appartient à la hauteur du triangle ABC passant par C.

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    • 1.10

      le 16 janvier à 17:29, par Reine

      Contrairement à vous, je n’ai pas l’impression que les points que vous appelez $A$ et $B$ sont diamétralement opposés sur le cercle ; et d’ailleurs, la propriété est vraie sans cette hypothèse. En voici une démonstration.

      Sur la figure jointe, je reprends vos notations : du point $C$, on a mené deux sécantes $CDA$ et $CEB$ à un même cercle. En appelant $F$ le point diamétralement opposé à $C$ sur le cercle passant par $C$, $D$ et $E$, il s’agit de prouver que les droites $AB$ et $CF$ sont perpendiculaires.

      L’angle $\widehat{DAB}$, qui intercepte l’arc $DEB$, est le supplémentaire de l’angle $\widehat{DEB}$, et est donc égal à l’angle $\widehat{CED}$. Ce dernier est lui-même égal à $\widehat{CFD}$ (car tous deux interceptent l’arc $CD$). Mais le triangle $CDF$ est rectangle en $D$ (car $D$ est sur le cercle de diamètre $CF$) ; ainsi, $\widehat{CFD}$ a pour complémentaire $\widehat{DCF}$. Finalement, les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACF}$ sont complémentaires, ce qui établit que $CF$ est perpendiculaire à $AB$.

      Document joint : figure-1-10.jpg
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