Figure sans paroles #2.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.4

    le 23 juin 2015 à 17:53, par AdrienK

    C’est beau.

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  • 2.4

    le 23 juin 2015 à 18:50, par Aziz El Kacimi

    Bonjour Adrien !

    Oui, c’est beau ! Et ce serait encore plus beau de poser la question que la figure suggère et d’y répondre ! :)

    Cordialement,

    Aziz

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  • 2.4

    le 20 février 2019 à 14:35, par Hébu

    La difficulté c’est de comprendre ce dont il s’agit ! Quand on regarde d’un oeil distrait on pense au point de concours des bissectrices. Et puis, non, le centre du cercle ne peut pas se trouver à cet endroit ! En jetant un oeil (moins distrait) sur le livre, qu’on peut « feuilleter » sur Amazon, j’ai découvert qu’il s’agissait des « points de Gergonne » !

    Je m’étais déjà fait piéger par la figure 4.3.9 (prenant le train en retard, je remonte le temps...) sur une erreur du même genre.

    Alors, les preuves classiques font appel au théorème de Ceva. Ce qui serait bien, ce serait une preuve « directe »

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  • 2.4

    le 22 septembre à 11:20, par Reine

    Voici une démonstration sans Céva ; mais la jugerez-vous plus directe ? C’est affaire de point de vue...

    On a un cercle tangent en A’, B’ et C’ aux côtés BC, CA et AB d’un triangle ABC (il peut s’agir du cercle inscrit ou d’un cercle ex-inscrit), et on aimerait montrer que les droites AA’, BB’ et CC’ se rencontrent, c’est-à-dire que l’intersection G de BB’ et CC’ est sur AA’.

    Appelons P le point intersection de B’C’ et BC, et Q le conjugué harmonique de P par rapport à B’ et C’.

    Les points Q (par sa définition) et G (par la construction classique de la polaire) sont tous deux sur la polaire de P par rapport aux droites AB et AC ; ainsi G est sur la droite $\,$AQ.

    Les points Q (par sa définition), A’ (contact de la tangente) et A (car P est sur sa polaire B’C’) sont trois conjugués de P par rapport au cercle ; A’ est donc aussi sur la droite $\,$AQ, et c’est terminé.

    Notez que cet argument établit en même temps une autre propriété, liée à celle-ci : (PA’BC) est une division harmonique — propriété que vous établissez dans votre commentaire sur la Figure sans Paroles 4.6.6, en la déduisant de celle-ci.

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    • Oups !

      le 2 octobre à 09:23, par Reine

      J’avais oublié de joindre mes petits dessins. Les voici, dans les différents cas : cercle inscrit dans le triangle, ex-inscrit dans l’angle B, ex-inscrit dans l’angle A. (La démonstration ne les distingue pas.)

      Document joint : figure-2-4.pdf
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