Figure sans paroles #2.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • 2.4

    le 22 septembre 2021 à 11:20, par Reine

    Voici une démonstration sans Céva ; mais la jugerez-vous plus directe ? C’est affaire de point de vue...

    On a un cercle tangent en A’, B’ et C’ aux côtés BC, CA et AB d’un triangle ABC (il peut s’agir du cercle inscrit ou d’un cercle ex-inscrit), et on aimerait montrer que les droites AA’, BB’ et CC’ se rencontrent, c’est-à-dire que l’intersection G de BB’ et CC’ est sur AA’.

    Appelons P le point intersection de B’C’ et BC, et Q le conjugué harmonique de P par rapport à B’ et C’.

    Les points Q (par sa définition) et G (par la construction classique de la polaire) sont tous deux sur la polaire de P par rapport aux droites AB et AC ; ainsi G est sur la droite $\,$AQ.

    Les points Q (par sa définition), A’ (contact de la tangente) et A (car P est sur sa polaire B’C’) sont trois conjugués de P par rapport au cercle ; A’ est donc aussi sur la droite $\,$AQ, et c’est terminé.

    Notez que cet argument établit en même temps une autre propriété, liée à celle-ci : (PA’BC) est une division harmonique — propriété que vous établissez dans votre commentaire sur la Figure sans Paroles 4.6.6, en la déduisant de celle-ci.

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