Figure sans paroles #3.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.15

    le 31 août à 14:46, par Reine

    Cette figure illustre la propriété suivante : étant donné quatre points sur un cercle, si l’on associe à chacun d’eux sa droite de Simson relative au triangle formé par les trois autres, ces quatre droites de Simson sont concourantes.

    Bien que la figure semble un inextricable fouillis, cette propriété peut s’établir très simplement en mettant à profit un théorème classique sur la droite de Simson (ou plutôt sur la droite de Steiner), qui est illustré par la Figure sans Paroles 3.14 : la droite de Simson d’un point du cercle circonscrit à un triangle passe toujours par le milieu du segment joignant ce point à l’orthocentre du triangle.

    Au lieu de la propriété annoncée, je vais montrer qu’étant donné quatre points sur un cercle, si l’on joint chacun de ces points à l’orthocentre du triangle formé par les trois autres, les quatre segments ainsi obtenus ont même milieu. Compte tenu du théorème rappelé ci-dessus, que j’admettrai ici, ceci dit mieux que la propriété annoncée : non seulement les quatre droites de Simson ont un point commun, mais ce point est plus précisément pour chacune d’elle le point particulier dont parle le théorème 3.14.

    Soit $ABC$ un triangle ; appelons $V$ son cercle circonscrit, $H$ son orthocentre et $S$ la symétrie par rapport à la droite $BC$. Il est bien connu que $S(H$) est sur $V$ ; autrement dit, $H$ est sur le cercle $S(V)$, que nous appellerons $W$. Les deux cercles ayant même rayon, on peut passer de $V$ à $W$ non seulement par $S$, mais aussi par une certaine translation $T$. La perpendiculaire à $BC$ passant par $A$ coupe $W$ en les deux points $S(A$) et $T(A$), c’est pourquoi $H$, qui est sur cette droite et sur $W$ sans être $S(A$), n’est autre que $T(A$). Jusqu’ici nous n’avons fait que reformuler la propriété du symétrique de l’orthocentre sous la forme suivante : le vecteur $\,\vec{AH}$ est aussi le vecteur de la translation $T$ qui envoie $\,V$ sur son symétrique par rapport à $\,BC$. (En introduisant le centre $O$ de $V$, on aurait aussi pu résumer cela en $\vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OC}$.)

    En corollaire de ce qui précède, on voit que si $\,D$ est un quatrième point sur le cercle circonscrit à $\,ABC$ et $\,K$ l’orthocentre de $\,DBC$, alors $\,\vec{DK}$ est le vecteur de la même translation $\,T$, d’où $\,\vec{DK}=\vec{AH}$. Les segments $AK$ et $DH$ ont donc même milieu ; et il ne reste qu’à permuter les trois points $B$, $C$ et $D$ (ce qui ne change pas le point $K$) pour voir que les milieux des segments joignant $B$ à l’orthocentre de $ACD$ et $C$ à celui de $ADB$ coïncident, eux aussi, avec le milieu de $AK$.

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