Figure sans paroles #4.1.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.8

    le 27 juillet à 17:16, par Sidonie

    Sur la hauteur (CF) du triangle ABC on place un point Q. (BQ) coupe son cercle circonscrit noté (O) en R. (CR) coupe la hauteur (BE) en S. U est le milieu de [SQ].
    Il conviendrait de prouver l’alignement E, F et U.
    H est l’orthocentre, M le milieu de [BC], [AD] est un diamètre. BDCD est un parallélogramme et (DH) coupe (O) en G. A cause des angles droits en E, F et G les point A, E, F,G et H sont cocycliques. Donc (AB,AC) = (AF,AE) = (HF,HE) = (HQ,HS)
    R est un point de (O) donc (AB,AC) = (RB,RC) = (RQ,RS)
    L’égalité (HQ,HS) = (RQ,RS) montre que H, Q, R et S sont cocycliques. Soit V le centre de cercle noté (V)
    (DC) // (BS) d’où (HS,HG) = (DC,DG) = (RC,RG) = (RS,RG) (cercle circonscrit) donc G est aussi sur (V).
    I et J sont les intersections de (BE) et (CF) avec le cercle circonscrit. N et P sont les intersections de (AB) et (AC) avec les parallèles à (AC) et (AB) passant par H. (HN) et (HP) coupent (AG) en L et K.
    (HL)//(AC) donc (LH,LG) = (AC,AG) . Dans (O) : (AC,AG) = (JC,JG) = (JH,JG) et G, H, J et L sont cocycliques .
    (LG) et (GH) sont perpendiculaires donc [HL] est un diamètre de ce cercle. L’orthocentre H a pour symétrique J par rapport à (AB) qui est donc la médiatrice de [HJ] et N devient le centre du cercle, désormais noté (N), et qui est tangent à la hauteur (BE) puisque (HL) est perpendiculaire à (BE).
    De même P est le centre d’un cercle (P) passant par G, H, I et K et tangent à la hauteur (CF).
    (V), (N) et (P) passent par H et G donc V, N et P sont alignés. Soit le réel k tel que $\vec{NP}$= k. $\vec{PV}$
    Les projetés orthogonaux de N, P et V sont H, E et Z milieu de [HS] sur (BE) F, H et W milieu de [HQ] sur (CF) qui vérifient donc $\vec{HE}$ =k. $\vec{EZ}$ et $\vec{FH}$ = k. $\vec{HW}$.
    U,Z et W étant les milieu des côtés de HQS on a$\vec{HW}$ = $\vec{ZU}$
    Ne reste plus qu’à recoller les morceaux
    $\vec{FE}$ = $\vec{FH}$ + $\vec{HE}$ = k. $\vec{HW}$ + k. $\vec{EZ}$ = k. $\vec{ZU}$ + k. $\vec{EZ}$ = k. $\vec{EU}$. $\vec{FE}$ et$\vec{EU}$ sont colinéaires donc E, F et U sont alignés.

    Document joint : fsp_4.1.8.jpg
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