Figure sans paroles #4.1.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.10

    le 20 mai à 16:48, par Reine

    On se donne un triangle et un point M. À chaque côté du triangle, on associe la droite joignant les projections de M sur ce côté et sur la hauteur correspondante. Sur la figure proposée, ces trois droites concourent en un même point$\,$ ; voici comment l’établir.

    Appelons ABC le triangle, AI, BJ et CK ses hauteurs. Pour établir la concurrence des trois droites en question, nous pouvons les remplacer par leurs images via l’homothétie de centre M et de rapport 2 ; celles-ci joignent les symétriques de M par rapport aux côtés et aux hauteurs correspondantes. Mais, comme AI$\,\perp\,$BC, la droite joignant les symétriques de M par rapport à AI et BC n’est autre que la symétrique de IM par rapport à la droite AI (et à la droite BC) ; de même pour JM et KM.

    Or on sait [1] que les hauteurs et les côtés de ABC sont les six bissectrices des angles du triangle IJK. On se ramène ainsi à montrer que les symétriques des droites joignant M aux sommets du triangle IJK par rapport aux bissectrices correspondantes de ce triangle sont concourantes.$\,$ C’est là une propriété générale, qui fait l’objet de la Figure sans Paroles 4.9.1, et qu’il serait superflu de redémontrer ici.

    [1C’est une propriété classique, et facile, des triangles, mais je ne retrouve pas la Figure sans Paroles y consacrée.

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  • Un argument autonome

    le 22 mai à 11:43, par Reine

    Comme Hubé l’a plusieurs fois remarqué dans ses commentaires sous des Figures sans Paroles, il est frustrant d’en expliquer une en faisant appel à une autre, proposée postérieurement. C’est pourtant ce que j’ai fait ci-dessus, ramenant la question à la Figure sans Paroles 4.9.1 ; mais j’aurais pu m’en passer : voici un autre raisonnement, qui m’aurait évité le paradoxe temporel du recours au futur, et qui, en outre, précise en quel point concourent les trois droites.

    Repartons à zéro. On a un triangle ABC, ses hauteurs AI, BJ et CK, et un point quelconque M. Celui-ci se projette en R sur la hauteur IA et en S sur le côté BC, déterminant ainsi une droite RS. Les constructions analogues en permutant A, B et C (et I, J et K) fournissent deux autres droites ; nous allons voir que ces trois droites sont concourantes.

    Appelons T, U et V les projections orthogonales respectives de M sur JK, KI et IJ. Les six points M, I, R, S, U et V sont tous sur le cercle de diamètre MI ; le rectangle IRMS étant inscrit dans le cercle, RS aussi est un diamètre, donc un axe de symétrie du cercle.

    Les droites AI et BC étant les bissectrices de l’angle des droites IJ et IK, on a (IK,IA)$\,=\,$(IA,IJ), c’est-à-dire (IU,IR)$\,=\,$(IR,IV), ou encore (SU,SR)$\,=\,$(SR,SV) ; ainsi les droites SU et SV sont échangées par la symétrie d’axe RS. Elle échange donc leurs intersections avec le cercle, et RS est la médiatrice du segment UV.

    Les deux autres droites candidates au concours sont, de même, les médiatrices de VT et TU. Toutes trois concourent donc au centre du cercle passant par T, U et V.

    Document joint : figure-4-1-10.pdf
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  • Petite remarque complémentaire

    le 22 mai à 14:37, par Reine

    L’argument ci-dessus montre aussi qu’au lieu d’être concourantes, les trois droites sont parfois parallèles. Cela se produit quand et seulement quand T, U et V sont alignés, c’est-à-dire (théorème de Simson) quand M est sur le cercle circonscrit à IJK, qui est le cercle des neuf points du triangle initial ABC.

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