Figure sans paroles #4.12.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.12

    le 19 mars 2019 à 00:08, par Sidonie

    On retrouve en effet la figure du théorème de Morley, le triangle central que j’ai nommé DEF est donc équilatéral. Je note G le point situé au dessus de EF. (voir figure jointe)

    Dans le triangle AGB, D est le point d’intersection entre les bissectrices issues de A et de B donc GD est la bissectrice de EGF.

    On cherche maintenant quels sont les points M tels que la bissectrice de EMF passe par D.
    On a d’abord les points de l’arc EF du cercle circonscrit à DEF puisqu’ils regardent les cordes DE et DF avec un angle de 60°. Or G n’est en général pas sur ce cercle. Si on note a, b et c les petits angles en A, B et C , G est sur le cercle si c= 30° et donc si ABC est rectangle en C (je n’ai pas encore étudié ce cas qui laisse un doute sur la démonstration).

    M peut aussi être sur la médiatrice de EF par raison de symétrie.

    Si M est ailleurs, on trace le cercle passant par E,F et M. il coupe la médiatrice de EF en N et P (N du même côté de EF que G). La bissectrice de ENF coupe le cercle en P et il sera de même pour la bissectrice de EMF qui coupe donc la médiatrice en P et ne peut passer par D autre point de la médiatrice.

    Autrement si ABC n’est pas rectangle en C alors G est sur la médiatrice de EF et on a bien GE=GF

    Document joint : idm_4.12.12.jpg
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