Figure sans paroles #4.2.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.2.6

    le 26 mai à 16:04, par Reine

    Que voilà une figure très dépouillée ! On y voit juste un triangle ABC, son orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit, la hauteur AI et la perpendiculaire en I à OI qui rencontre AC au point D. Les angles (HI,HD) et (CA,CB) sont-ils égaux ?

    Introduisons en outre le point H’ où la hauteur AI recoupe le cercle circonscrit (c’est aussi le symétrique de H par rapport à I) et les intersections J de AC avec H’B, K de AB avec H’C et D’ de ID avec H’B. Par construction, les points J et K sont des conjugués de I par rapport au cercle ; la polaire JK est donc orthogonale à OI, et parallèle à ID. De même, JI est la polaire de K par rapport à JA et JB, et (JA,JB,JI,JK) est donc un faisceau harmonique, dont la trace sur la droite ID (parallèle à JK) montre que le point$\,$ I est le milieu de$\,$ DD’. (Je n’ai fait jusqu’ici que recopier servilement une démonstration de Hébu concernant la Figure sans Paroles 6.4.3.)

    Venons-en aux angles qui nous intéressent. La symétrie par rapport à I préservant les angles de droites, on peut écrire (HI,HD)$\,=\,$(H’I,H’D’)$\,=\,$(H’A,H’B)$\,=\,$(CA,CB).

    Document joint : figure-4-2-6.pdf
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