Figure sans paroles #4.2.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.2.9

    le 22 juin à 15:59, par Reine

    Bien qu’à première vue très semblable à la Figure sans Paroles 4.2.8 proposée la semaine précédente, celle-ci m’a paru bien plus simple. Sans doute n’ai-je pas su discerner, dans la précédente, le nœud de l’affaire.

    On part d’un triangle $ABC$ et d’un point $M$. Les droites $MA$, $MB$ et $MC$ recoupent en $P$, $Q$ et $R$ le cercle circonscrit au triangle (figure 1 ci-jointe). L’orthocentre $H$ du triangle et les trois points $U$, $V$ et $W$ respectivement symétriques de $P$, $Q$ et $R$ par rapport aux côtés $BC$, $CA$ et $AB$ sont alors quatre points cocycliques (ou même alignés, lorsque $M$ est choisi sur le cercle circonscrit). Comment s’en convaincre ?

    En appelant $O$ le centre du cercle circonscrit et $O'$ son symétrique par rapport à $BC$, on a un parallélogramme $AHO'\!O$. (C’est une propriété classique : le symétrique $H'$ de $H$ étant sur le cercle, on a un triangle isocèle $OAH'$ dont l’axe de symétrie est parallèle à $BC$ ; donc le symétrique de $\vec{OH'\!}\,$ par rapport à $BC$, c’est-à-dire $\vec{O'\!H\!}\,$, est équipollent à $\vec{OA\!}\,$.) La symétrie $s$ par rapport au milieu $E$ du segment $OH$ [1] échange donc $A$ et $O'$. Pareillement, $s$ échange aussi $B$ avec le symétrique de $O$ par rapport à $CA$, et de même pour $C$.

    Revenons à notre figure. Pour établir que $H$ est sur le cercle (ou la droite) passant par $U$, $V$ et $W$, il suffit de s’assurer que les médiatrices de $HU$, $HV$ et $HW$ sont concourantes (ou parallèles). Comme $P$ et le symétrique $H'$ de $H$ par rapport à $BC$ sont tous deux sur le cercle circonscrit, la médiatrice de $H'\!P$ passe par $O$, et, symétriquement, la médiatrice de $HU$ (appelons-la $D$) passe par $O'$. Recourons maintenant à la symétrie $s$ par rapport à $E$ : la droite $s(D)$ passe par $A$, c’est donc la parallèle à $\,D$ passant par $\,A$ (figure 2).

    Le point $P$ étant sur le cercle circonscrit à $ABC$, ses symétriques $U$, $P'$ et $P''$ par rapport aux trois côtés $BC$, $CA$ et $AB$ sont sur une même droite (la droite de Steiner de $\,P$), qui, en outre, passe par $H$. (Ceci est démontré par Sidonie sous les Figures sans Paroles 3.11 et 3.14.) Les segments $AP'$ et $AP''$, qui sont des symétriques de $AP$, ont même longueur ; ainsi, la médiatrice de $\,P'\!P''$ passe par $\,A$. Mais elle est perpendiculaire à la droite de Steiner $HUP'\!P''$, donc parallèle à la médiatrice $D$ de $HU$ ; vu le paragraphe précédent, la médiatrice de $\,P'\!P''$ n’est autre que $\,s(D)$.

    Puisque $P$ est sur $AM$, une certaine homothétie $h$ de centre $A$ transforme $P$ en $M$. Respectant les symétries par rapport aux droites $CA$ et $AB$, elle envoie $P'$ et $P''$ sur les symétriques $M'$ et $M''$ de $M$ par rapport à $CA$ et $AB$. La médiatrice de $M'\!M''$ est donc $h\bigl(s(D)\bigr)$, c’est à dire $s(D)$. [2] En fin de compte, la symétrie $\,s$ échange les médiatrices de $\,HU$ et de $\,M'\!M''$.

    Il ne reste qu’à introduire le symétrique $M'''$ de $M$ par rapport à $BC$, et à noter que $s$ transforme les médiatrices de $HU$, $HV$ et $HW$ en celles de $M'\!M''$, $M''\!M'''$ et $M'''\!M'$ ; ces dernières étant concourantes (ou parallèles si $M'$, $M''$ et $M'''$ sont alignés, c’est-à-dire si $M$ est sur le cercle circonscrit), c’est terminé.

    [1Ce point $\,E$ est le centre d’un cercle bien connu, mais peu importe ici.

    [2Lorsque la droite $\,MA$ est tangente au cercle, $\,P$ est en $\,A$, $\,h$ n’existe plus et cet argument est en défaut. Mais en ce cas, comme l’a prouvé Sidonie sous la Figure sans Paroles 4.1.3, la médiatrice de $\,M'\!M''$ est la perpendiculaire à $\,AH$ passant par $\,A$, c’est-à-dire encore $\,s(D)$.

    Document joint : figure-4-2-9.pdf
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