Figure sans paroles #4.3.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.2

    le 25 juin à 15:09, par Reine

    Un triangle $ABC$ et ses bissectrices intérieures $CD$ et $BE$. La droite joignant les centres du cercle circonscrit et du cercle ex-inscrit dans l’angle $A$ est-elle perpendiculaire à $DE$ ?

    Il suffit de vérifier que l’axe radical des deux cercles est parallèle à $DE$. Faute d’argument élégant, je vais recourir à de petits calculs, en fonction des longueurs $a$, $b$ et $c$ des côtés du triangle et de son demi-périmètre $p$. Appelons $R$ et $S$ les intersections de l’axe radical avec $AB$ et $AC$, et $F$ le point où le cercle ex-inscrit touche $AB$ (figure jointe). Égalant les puissances de $R$ par rapport aux deux cercles, on écrit\[{FR}^2=(\,\,\overline{\!\!AF\!}\,+\,\overline{\!FR\!}\,)(\,\overline{\!BF\!}\,+\,\overline{\!FR\!}\,)\;,\]qui se simplifie en\[\,\overline{\!FR\!}\,=-\frac{\,\,\overline{\!\!AF\!}\,\,\,\overline{\!BF\!}\,}{\,\,\overline{\!\!AF\!}\,+\,\overline{\!BF\!}\,}\;.\]En ajoutant $\,\,\overline{\!\!AF\!}\,$ des deux côtés, il reste\[\,\,\overline{\!\!AR\!}\,=\frac{{AF}^2}{\,\,\overline{\!\!AF\!}\,+\,\overline{\!BF\!}\,}\;.\]
    Orientons la droite $AB$ de $A$ vers $B$, de sorte que $\,\,\overline{\!\!AB\!}\,=c$, $\,\,\overline{\!\!AF\!}\,=p$ et $\,\overline{\!BF\!}\,=p-c$ ; cela donne\[\,\,\overline{\!\!AR\!}\,=\frac{p^2}{a+b}\;.\]

    D’autre part, $D$ divisant $AB$ dans le rapport $-b/a$, on a\[\,\,\overline{\!\!AD\!}\,=\frac{b}{a+b}\>c\;,\]d’où finalement\[\frac{\,\,\overline{\!\!AR\!}\,}{\,\,\overline{\!\!AD\!}\,}=\frac{\,p^2\!}{bc}\;.\]

    Ce rapport ne changeant pas lorsqu’on permute les rôles de $B$ et $C$, on constate que\[\frac{\,\,\overline{\!\!AS\!}\,}{\,\,\overline{\!\!AE\!}\,}=\frac{\,\,\overline{\!\!AR\!}\,}{\,\,\overline{\!\!AD\!}\,}\;,\]et le parallélisme est établi.

    Document joint : figure-4-3-2.pdf
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