Figure sans paroles #4.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.4.6

    le 16 août 2020 à 18:31, par Hébu

    Eh oui, je passe par là. Et je propose une approche toute différente, basée sur des calculs d’angles (j’ai fait l’effort de prendre des angles orientés — j’espère les avoir utilisés correctement).

    Seul petit souci j’ai noté D le point que vous nommâtes M. Mais je n’ai pas le courage de changer tout...

    .
    Je vais noter $v$ l’angle $(AT,AC)$. Alors, $(AB,AT)=a-v$.

    Les points $B, C, T, O$ sont cocycliques ($O$, centre du cercle circonscrit), à cause des angles droits en $B$ et $C$.

    Je prends le point $D$, comme intersection de $AT$ avec la droite issue de $B$.
    Dans le triangle $BED$, on a $(BE,BD)=(BE,BC)+(BC,BA)+BA,BD)=b$ ($(BE,BC)=(AE,AC)$, angles inscrits). On a $(EA,EB)=(CA,CB)=c$, d’où on tire $(DB,DT)=a$ (1).

    .
    Dans le triangle $BTC$, isocèle, on a $(CB,CT)=a$ (puisque $(TC,TB)=2a$) (2).

    Rapprochant (1) et (2) on voit que $D$ est sur le cercle passant par $B, C, T$.

    .
    Le même calcul avec $D'$, intersection de la droite issue de $C$, donne le même résultat. Les deux point sont intersections de $AT$ avec le cercle, ils sont donc confondus.

    .

    Ceci étant, je regarde ce résultat sur les quadrilatères.

    .

    Document joint : idm4-4-6.jpg
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