Figure sans paroles #4.5.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.11

    le 28 mars 2020 à 18:51, par Sidonie

    E,F et G sont les points de tangences avec [AB], [BC] et [AC] du cercle exinscrit au triangle ABC, opposé à A.
    H et J sont les points de tangences avec [AB] et [AC] des 2 autres cercles exinscrits. (BC) et (HJ) se coupent en K .

    Il s’agit de prouver l’alignement E, G et K.

    Les droites (AF), (BJ) et (CH) sont concourantes au point de Nagel. Il est donc point d’intersection de 2 diagonales du quadrilatère complet ABCKJH , les droites (AB), (AF), (AC) et (AK) forment un faisceau harmonique et les points B,C et F,K sont dans un rapport harmonique qu’on peut écrire sous forme multiplicative FB.KC = FC.KB

    Les bras de tangentes des cercles exinscrit sont symétriques de leurs confrères du cercle inscrit par rapport aux milieux des côtés d’où :
    AH = CF = CG, AJ = BF = BE, BH = CJ et bien sûr AE = AG

    J’utilise la condition d’alignement dans un triangle ace = bdf

    AE.BK.CG - AG.BE.CK = AE( BK.CF - BF.CK) = 0

    Donc AE.BK.CG = AG.BE.CK et les ponts E, G et K sont alignés.

    Document joint : fsp_4.5.11.jpg
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    • 4.5.11

      le 11 décembre 2020 à 17:59, par Hébu

      Je propose une autre preuve, qui aboutit à une figure surprenante.

      Je reprends la même numérotation, en ajoutant les points de tangence du cercle inscrit dans le triangle, points L,M,N.

      Et pour me faciliter la vie, j’inverse le rôle de KH et KE : je note K l’intersection de (EG) et (BC), et je cherche à montrer que H,J,K sont alignés.

      On sait (depuis la figure 4.5.3, je crois) que les bras de tangentes des cercles inscrits et exinscrits sont reliés, ici AH=BN, BM=CF, AL=CJ. De plus, évidemment, BF=BE, etc.

      De sorte que, examinant les demi-droites AE et AG, on trouve les segments AH, HB, BE, et AJ=BE, JC=HB, CG=AH.
      .

      On peut alors appliquer deux fois de suite le résultat de Ménélaüs.

      1/ puisque dans le triangle AEG, les points B,C,K sont alignés, alors
      \[ \frac{KG}{KE}\times \frac{BE}{BA}\times \frac{CA}{CG} = +1 \]

      (il faudrait ajouter des barres au dessus, pour respecter l’orthodoxie)

      .
      2/ Mais, grâce aux égalités des segments mentionnées ci-dessus, on remarque que BE=JA, AB=AH+HB=GJ, CA=AJ+JC=HE, et on peut réécrire la relation

      \[ \frac{KG}{KE}\times \frac{JA}{JG}\times \frac{HE}{HA} = +1 \]
      ce qui, par une application de Ménélaüs (dans l’autre sens), montre l’alignement

      .
      Je trouve ce résultat surprenant, parce qu’il est plus général. Ici, on a un triangle ABC, et par exemple BC=AH+AJ.

      Mais l’alignement reste valide, même si on opère avec un triangle BC quelconque. Il suffit de prendre deux demi-droites, faisant un angle quelconque, et aligner des segments AH, HB, BE sur l’une, et AJ=BE, JC=HB, CG=AH sur l’autre !

      Document joint : idm4-5-11.jpg
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      • 4.5.11

        le 13 décembre 2020 à 18:56, par Sidonie

        Résultat intéressant en effet, que je vous propose de transformer en un théorème que je n’hésite pas à nommer théorème de Hébu :
        si les côtés égaux d’un triangle isocèle sont partagés en 3, l’un du sommet vers la base, l’autre de la base vers le sommet par des segments égaux 2 à 2 alors les droites passant par les points de partages sont concourantes avec la base.
        Muni de ce théorème, la démonstration tient en une ligne ou deux.

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        • 4.5.11

          le 13 décembre 2020 à 21:34, par Hébu

          Alors là, je me pâme… Un théorème ! C’est comme une statue, au coin d’une rue, dans une sous-préfecture oubliée…

          Plus sérieusement. Le même mécanisme est en jeu, dans les figures qui suivent (je n’ai pas tout exploré, bien sûr, mais 4.5.12, 4.5.13, sûr). Et ça me rappelle également d’autres figures, peut-être.

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