Figure sans paroles #4.5.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.5

    le 16 août 2021 à 19:51, par Reine

    Voici une preuve qui ne diffère guère de celle de Hébu que par l’exposition : les arguments sont au fond les siens, seul l’habillage a changé. Si, malgré l’absence de nouveauté, je la présente tout de même, c’est pour souligner encore plus, à la suite du commentaire laconique de Sidonie, la parenté avec 2.8 ; la démarche barycentrique de ma démonstration de 2.8 est en effet reprise ci-dessous.

    Une notation : ${\rm Bar}(P,Q,R;\lambda,\mu,\nu)$ désignera le barycentre des points $P$, $Q$ et $R$ affectés de coefficients proportionnels à $\lambda$, $\mu$ et $\nu$.

    Avec les notations de Hébu, il est bien connu que le centre $O$ du cercle inscrit est donné par $O={\rm Bar}(A,B,C;a,b,c)\;.$ (Cela résulte facilement de ce que chaque bissectrice intérieure du triangle découpe le côté opposé proportionnellement aux deux autres côtés.) On en déduit aussitôt que \[a\,\vec{OA}+b\,\vec{OB}+c\,\vec{OC}=\vec0\;.\]

    Par ailleurs, puisque $BD=p-b$ et $CD=p-c$, on a $D={\rm Bar}(B,C;p{-}c,p{-}b)$, donc \[a\,\vec{OD}=(p{-}c)\,\vec{OB}+(p{-}b)\,\vec{OC}\;.\]

    Additionnant membre à membre ces deux égalités vectorielles, on trouve $a\,(\vec{OA}+\vec{OD})=(p{-}b{-}c)\,(\vec{OB}+\vec{OC})$. Il ne reste qu’à remplacer $\vec{OA}+\vec{OD}$ par $2\,\vec{OE}$ et $\vec{OB}+\vec{OC}$ par $2\,\vec{OM}$ pour obtenir l’alignement de $O$, $E$ et $M$, et plus précisément $O={\rm Bar}(E,M;a,p{-}a)$.

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