Figure sans paroles #4.5.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 4.5.9

    le 5 de junio de 2020 à 09:57, par Sidonie

    Un triangle ABC, M et O milieux de [BC] et [AB], D centre du cercle exinscrit opposé à C, F et G point de tangence avec (AB) et (BC), E centre du cercle exinscrit opposé à B, H et J points e tangences avec (BC) et (AC). Les points définis au 4.5.8 sont ici K et L I est le centre du cercle inscrit, S point de tangence avec (BC). (GK)$\cap$(BD) = N. (GL)$\cap$(CD) = Q. (HK)$\cap$(BE) = P. (HL)$\cap$(BE) = R. (GL)$\cap$(HK) = T. U est le milieu de [PQ].
    Il faut prouver que AT = IS et (AT)//(IS) c’est-à-dire que AIST est un parallélogramme.
    On sait depuis les figures précédentes que (GF)//(BI) et (HJ)//(CI) ce qui fait de IPTQ un parallélogramme et de U le milieu de [IT]. Reste à prouver qu’il est aussi le milieu de [AS].
    (GK)//(CE) puisque perpendiculaires à (KH) donc (GN,GB) = (CE,CH)
    (NB,NK) = (BN,BG) + (GB,NK) = (BN,BG) + (CE,CH) = $\frac 1 2$(BA,BG) + $\frac 1 2$(CH,CA) = $\frac 1 2$(AB,AC).
    K est sur la bissectrice extérieure en A donc (AB,AK) = $\frac 1 2$(AB,AC) = (NB,NK) et N est sur le cercle de diamètre [AB] . (NK)$\bot$(KP) et (NB)$\bot$(BP) (toutes 2 bissectrices issues de B) donc P est sur le cercle et [NP] est un diamètre. Les triangles isocèles KON et KMG sont semblables donc (MP)//(BC).
    Une démonstration identique conduit à (QR)//(BC) et donc à l’alignement N, O, Q, U, P, R. La présence de O en fait une droite des milieux du triangle ABC. Le milieu de [AS] est donc sur cette droite.
    (QP)//(GH) donc il existe une homothétie de centre T qui envoie U milieu de [QP] sur M milieu de [GH] (vu au 4.5.8) donc T,U,I et M sont alignés.
    L’hyperbole de foyers B et C passant par A passe par S et les tangentes en A et S se coupent en I (démontré dans d’autres figures). Dans une hyperbole le point d’intersection des tangentes en deux points, le milieu de ces deux points et le milieu des foyers sont alignés donc le milieu de [AS] est sur la droite (MI).
    (MI)$\cap$(PQ) = U donc U est le milieu de [AS] , AIST est bien un parallélogramme.

    Document joint : fsp_4.5.9.jpg
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    • 4.5.9

      le 17 de diciembre de 2020 à 17:00, par Hébu

      Une autre idée de preuve, assez différente. Je n’en suis que modérément fier, parce que 1/ la preuve que AT soit la perpendiculaire provient de la figure 4.5.10, et 2/ la terminaison est toute arithmétique, et trop peu géométrique.

      J’ai essayé de conserver la nomenclature de Sidonie, rajoutant les quelques points qui me manquaient.

      .

      On peut tracer (GK) et (HL) qui vont se couper en V. Le calcul des angles montre facilement que HK et GL sont perpendiculaires à VG et VH, et T est ainsi l’orthocentre de VGH. J’appelle Z le pied de la hauteur issue de V.

      J’ajoute le point W, point de tangence du cercle (D) avec (AC), X, point de tangence de (AB) avec le cercle (E). Le cercle qui passe par V,W,J, coupe celui qui passe par V,X,F au point T (encore des égalités d’angles: CGW isocèle, etc.)

      VT est donc l’axe radical, les égalités des bras de tangentes (AW=AF, AJ=AX) font que A est sur cet axe.

      Cela aboutit donc à ce que AT (donc AZ) soit la hauteur de ABC.

      .
      On termine avec des considérations arithmétiques. Je note a, b, c, h, r les longueurs des côtés du triangle ABC, de la hauteur et du cercle inscrit. Et je note x la longueur AT

      On a les relations suivantes:

      • ah=r(a+b+c), soit h=r+r(b+c)/a (on exprime l’aire du triangle)
      • r/a= (h-x)/b+c qui exprime la similitude de TGH et IBC

      On en tire immédiatement que x=r, qui est le résultat cherché.

      Document joint : idm4-5-9bis.jpg
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