Figure sans paroles #4.5.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.9

    le 17 décembre 2020 à 17:00, par Hébu

    Une autre idée de preuve, assez différente. Je n’en suis que modérément fier, parce que 1/ la preuve que AT soit la perpendiculaire provient de la figure 4.5.10, et 2/ la terminaison est toute arithmétique, et trop peu géométrique.

    J’ai essayé de conserver la nomenclature de Sidonie, rajoutant les quelques points qui me manquaient.

    .

    On peut tracer (GK) et (HL) qui vont se couper en V. Le calcul des angles montre facilement que HK et GL sont perpendiculaires à VG et VH, et T est ainsi l’orthocentre de VGH. J’appelle Z le pied de la hauteur issue de V.

    J’ajoute le point W, point de tangence du cercle (D) avec (AC), X, point de tangence de (AB) avec le cercle (E). Le cercle qui passe par V,W,J, coupe celui qui passe par V,X,F au point T (encore des égalités d’angles : CGW isocèle, etc.)

    VT est donc l’axe radical, les égalités des bras de tangentes (AW=AF, AJ=AX) font que A est sur cet axe.

    Cela aboutit donc à ce que AT (donc AZ) soit la hauteur de ABC.

    .
    On termine avec des considérations arithmétiques. Je note a, b, c, h, r les longueurs des côtés du triangle ABC, de la hauteur et du cercle inscrit. Et je note x la longueur AT

    On a les relations suivantes :

    • ah=r(a+b+c), soit h=r+r(b+c)/a (on exprime l’aire du triangle)
    • r/a= (h-x)/b+c qui exprime la similitude de TGH et IBC

    On en tire immédiatement que x=r, qui est le résultat cherché.

    Document joint : idm4-5-9bis.jpg
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