Figure sans paroles #4.7.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.7.17

    le 16 mai à 19:08, par Reine

    Un résultat auxiliaire, avant de commenter la figure proposée. Si $\,C$ et $\,C_1$ sont deux cercles tangents (intérieurement ou extérieurement) en un point $\,T_1$, et si $\,A$ est un point de $\,C$, alors la puissance $\,p(A|C_1)$ de $\,A$ par rapport à $\,C_1$ vaut $\,{AT_1}^{\!2}/\,a_1$, où le coefficient $\,a_1$ ne dépend que des deux cercles, et non de la position de $\,A$ sur $\,C$.

    C’est très facile à voir : appelons $O$ et $O_1$ les centres des cercles (figure 0 ci-jointe) et $A_1$ l’intersection de $AT_1$ avec le cercle $C_1$. Par homothétie, $OA$ et $O_1A_1$ sont parallèles, d’où, via Thalès, ${\,\overline{\!AA_1\!}\,\,/\,\,\overline{\!AT_1\!}\,}={\,\overline{\!OO_1\!}\,\,/\,\,\overline{\!OT_1\!}\,}$. On obtient le résultat annoncé en appelant $1/a_1$ cette dernière quantité et en multipliant tout par ${AT_1}^{\!2}$.

    Revenons à la figure 4.7.17, qui présente deux cercles $C_1$ et $C_2$ extérieurs l’un à l’autre, et un troisième cercle $C$ tangent aux deux autres. Ceci donne lieu à sept cas de figure, numérotés de 1 à 7 sur le pdf joint. On a sur $C$ un point $M$ de l’axe radical de $C_1$ et $C_2$, [1] et deux points $I$ et $J$, chacun sur une tangente commune à $C_1$ et $C_2$ choisie selon le cas de figure. Dans chaque cas, ${MI=MJ}$.

    Pour s’en convaincre, appelons $T_1$ et $T_2$ les points de contact de $C_1$ et $C_2$ avec $C$, $I_1$ et $I_2$ les point où la tangente commune passant par $I$ touche $C_1$ et $C_2$, et de même $J_1$ et $J_2$. La relation de Ptolémée caractérise les quadrilatères convexes inscriptibles par l’égalité entre le produit des diagonales et la somme des produits des côtés opposés (voyez la Figure sans Paroles 5.5.6) ; on peut donc écrire\[\begin{array}{rcl}MI\times T_1\!T_2&\ =\ &MT_1\times IT_2\ +\ s\ MT_2\times IT_1\;;\\MJ\times T_1\!T_2&\ =\ &t\ MT_1\times JT_2\ +\ u\ MT_2\times JT_1\;,\end{array}\]où $s$, $t$ et $u$, valant chacun $\pm1$, sont trois signes qui dépendent du cas de figure. Par exemple, le graffiti ${-\,+\,+}$ sur la figure 3 signifie que, dans ce cas, ${s=-1}$, ${t=+1}$ et ${u=+1}$.

    Les quatre longueurs figurant dans chaque second membre étant de la forme $AT_i$, où $A$ est un point de $C$, le résultat auxiliaire autorise à les remplacer par $\sqrt{a_i\,p(A|C_i)\!}\,$, où $a_1$ est le coefficient relatif à $C$ et $C_1$ et $a_2$ son analogue pour $C$ et $C_2$. Comme $C$ est extérieur à $C_1$ et à $C_2$, $a_i$ et $p(A|C_i)$ sont positifs. Mais, $M$ étant sur l’axe radical de $C_1$ et $C_2$, on a $p(M|C_1)=p(M|C_2)$ ; en appelant simplement $p$ cette puissance, et en remarquant que $p(I|C_1)$ est le carré de $II_1$ etc., on obtient\[\begin{array}{rcl}MI\times T_1\!T_2&\ =\ &\sqrt{\vphantom{b}a_1\,p}\,\times \sqrt{a_2\!}\,\>II_2\ +\ s\ \sqrt{\vphantom{b}a_2\,p}\,\times \sqrt{\vphantom{b}a_1\!}\,\>II_1\\&\ =\ &\sqrt{\vphantom{b}a_1a_2\,p}\,\ (II_2+s\ II_1)\ =\ \sqrt{\vphantom{b}a_1a_2\,p}\,\ I_1I_2\end{array}\]et de même\[MJ\times T_1T_2\ =\ \sqrt{\vphantom{b}a_1a_2\,p}\,\ (t\;JJ_2+u\;JJ_1)\ =\ \sqrt{\vphantom{b}a_1a_2\,p}\,\ J_1J_2\;.\]Puisque $I_1I_2=J_1J_2$ (comme longueur des tangentes communes intérieures dans les cas 1 et 2 et extérieures dans les cas 3 à 7), on a aussi $MI=MJ$.

    Remarques

    1. --- Lorsque l’on se cantonne au premier cas de figure, les calculs ci-dessus sont un cas particulier de ceux présentés par Sidonie pour étudier la Figure sans Paroles 6.1.10.

    2. --- Le résultat subsiste si l’on remplace à la fois $\,M$ par l’autre point où $\,C$ coupe l’axe radical, $\,I$ par l’autre point où $\,C$ coupe la tangente commune sur laquelle il se trouve, et de même pour $\,J$. Dans les cas 1, 2 et 3, cela se voit en échangeant le haut et le bas de la figure ; dans les autres cas, en échangeant les figures 4 et 5, ou 6 et 7.

    [1Les cercles $\,C_1$ et $\,C_2$ étant extérieurs, ils sont de part et d’autre de leur axe radical ; $\,C$, qui les touche tous deux, traverse donc cet axe.

    Document joint : figure-4-7-17.pdf
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