Figure sans paroles #4.9.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.9.1

    le 6 septembre à 18:17, par Hébu

    Depuis un point M, intérieur au triangle , je trace les sécantes intérieures MA,MB,MC. Elles se prolongent, croisant les côtés en D,E,F.

    Je trace les symétriques par rapport aux bissectrices des sommets : AG symétrique de AD, BH de BE et CJ de CF (de sorte que les angles (AB,AD) et AG,AC) sont égaux, etc.)

    Alors, les droites (AG), (BH), (CJ) sont concourantes, en un point N.

    .

    Ne trouvant pas de preuve purement géométrique, je propose un argument basé sur la << loi des sinus >>.

    .
    Préliminaire. Soit un angle (PQ,PR), où les droites (PS) et (PT) sont symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle. Elles sont coupées par une sécante QR.

    Je note u les mesures des angles QSP et TPR, s et t celles de PSQ et RTP. Je profite de ce que les angles supplémentaires ont mêmes sinus.

    Dans le triangle PQS : PQ/sin(s)=QS/sin(u), soit QS=PQ*sin(u)/sin(s)

    Dans le triangle PSR : SR/sin(a-u)=PR/sin(s), soit SR=PR*sin(a-u)/sin(s)

    Finalement, QS/SR=(PQ/PR)*sin(u)/sin(a-u)

    Même calcul, dans les triangles PRT et PST :
    RT=PR*sin(u)/sin(t) ; QT=PQ*sin(a-u)/sin(t) et RT/QT=(PR/PQ)*sin(u)/sin(a-u)

    Autrement dit, TR/TQ=(SQ/SR)*(PR/PQ)^2

    .
    (Cas particulier, si S et T sont confondus, on retrouve bien les propriétés de la bissectrice).

    .
    Si j’applique ce résultat préliminaire à la figure initiale,
    je vais obtenir
    $GB/GC=DC/DB*(AB/AC)^2$,
    $HC/HA=EA/EC*(BC/AB)^2$
    $JA/JB=FB/FA*(AC/BC)^2$

    Les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes, donc selon Céva (DC/DB)*(FB/FA)*(EA/FC) = 1, et il s’ensuit que le produit (GC/GB)*(HA/HC)*(JA/JB)=1 — les droites sont concourantes, elles aussi.

    .
    Problème : la preuve est lourde, longue, elle manque d’élégance. Et surtout, elle se base sur le théorème de Céva, qu’un prochain item (la figure 4.9.15) devrait nous faire découvrir !

    C’est choquant !

    Document joint : img491.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques