Figure sans paroles #4.9.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.11

    le 10 novembre à 14:59, par Reine

    On a ici, comme dans les Figures sans Paroles 4.9.3, 4.9.9 et 4.9.10, un triangle $ABC$ et des points $A_1$ et $A_2$ (respectivement $B_1$ et $B_2$, $C_1$ et $C_2$) sur la droite $BC$ (respectivement $CA$, $AB$), tels que le segment $A_1A_2$ ait même milieu que $BC$, $B_1B_2$ que $CA$ et $C_1C_2$ que $AB$. C’est maintenant au point $\alpha$ intersection de $B_1C_1$ et $B_2C_2$ que l’on s’intéresse, ainsi qu’à ses homologues $\beta$ et $\gamma$ (figure a ci-jointe) ; il est suggéré que les droites $A\alpha$, $B\beta$ et $C\gamma$ sont concourantes, et c’est ce que nous allons vérifier. [1]

    Nous utiliserons bien sûr la formule de Céva, qui ramène la question au problème que voici : Soit deux droites se coupant en un point $\,O$, trois points $\,U_{1}$, $U_{2}$ et $\,U_3$ sur l’une d’elles et trois points $\,V_{1}$, $V_{2}$ et $\,V_3$ sur l’autre. Calculer la position du point $\,Z$ de la droite $\,U_3V_3$ tel que $\,OZ$, $\,U_{1}V_{2}$ et $\,U_{2}V_{1}$ soient concourantes.

    Appelons $Y$ le point où la droite $OZ$ (qui passe par l’intersection $U_{1}V_{2}\cap U_{2}V_{1}$) rencontre $U_{2}V_{2}$ (figure b ci-jointe). Dans le triangle $OU_{2}V_{2}$, la formule de Céva permet d’écrire
    \[\frac{\overline{YU_{2}\!}\,}{\overline{YV_{2}\!}\,}=-\;\frac{\overline{U_{1}U_{2}\!}\,}{\overline{U_{1}\!O}}\;\frac{\overline{V_{1}\!O}}{\overline{V_{1}V_{2}\!}\,}=-\;\frac{\,\overline{\!OV_{1}\!}\,}{\overline{V_{1}V_{2}\!}\,}\Biggm/\frac{\,\overline{\!OU_{1}\!}\,}{\overline{U_{1}U_{2}\!}\,}\;.\]

    Ainsi, $Y$ est le barycentre des points $U_{2}$ et $V_{2}$ avec des coefficients proportionnels à ${\,\overline{\!OU_{1}\!}\,}\,/\,{\overline{U_{1}U_{2}\!}\,}$ et ${\,\overline{\!OV_{1}\!}\,}\,/\,{\overline{V_{1}V_{2}\!}\,}$ ; autrement dit, le vecteur
    \[({\,\overline{\!OU_{1}\!}\,}/\,\,{\overline{U_{1}U_{2}\!}\,})\;{\,\vec{\!OU_{2}}}\;+\;({\,\overline{\!OV_{1}\!}\,}/\,\,{\overline{V_{1}V_{2}\!}\,})\;{\,\vec{\!OV_{2}}}\]
    est un multiple scalaire de ${\,\vec{\!OY}}$ (et donc aussi de ${\,\vec{\!OZ}}$).

    En remplaçant ${\,\vec{\!OU_{2}}}$ par $({\,\overline{\!OU_{2}\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!OU_3\!}\,})\;{\,\vec{\!OU_3}}$ et ${\,\vec{\!OV_{2}}}$ par $({\,\overline{\!OV_{2}\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!OV_3\!}\,})\;{\,\vec{\!OV_3}}$, ce multiple de ${\,\vec{\!OZ}}$ se réécrit
    \[f(O,U_{1},U_{2},U_3)\;{\,\vec{\!OU_3}}\;+\;f(O,V_{1},V_{2},V_3)\;{\,\vec{\!OV_3}}\;,\]
    où, pour quatre points alignés $O$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$, on a posé
    \[f(O,M_1,M_2,M_3)=\frac{\,\overline{\!OM_1\!\!}\,\;\;\,\overline{\!OM_2\!\!}\,}{\,\overline{\!OM_3\!\!}\,\,\;\,\overline{\!M_1M_2\!\!}\,\,}\;.\]
    Le point $Z$ est donc barycentre de $U_3$ et $V_3$ avec des coefficients proportionnels à $f(O,U_{1},U_{2},U_3)$ et $f(O,V_{1},V_{2},V_3)$ ; et le rapport dans lequel $Z$ divise le segment $\,U_3V_3$ est finalement
    \[\frac{\,\overline{\!ZU_3\!}\,}{\,\overline{\!ZV_3\!}\,}=-\;\frac{f(O,V_{1},V_{2},V_3)}{f(O,U_{1},U_{2},U_3)}\;.\]
    Sur l’expression de $f$, on observe immédiatement l’invariance par les homothéties (et en particulier par les symétries centrales) : si $\,h$ est une homothétie, $\,f\bigl(h(O),h(M_1),h(M_2),h(M_3)\bigr)=f(O,M_1,M_2,M_3)$.

    Revenant à notre figure 4.9.11, la formule ci-dessus fournit les rapports dans lesquels les droites $A\alpha$, $B\beta$ et $C\gamma$ vont diviser les côtés $BC$, $CA$ et $AB$ : ils valent respectivement\[-\;\frac{f(A,B_2,B_1,C)}{f(A,C_1,C_2,B)}\;,\quad-\;\frac{f(B,C_2,C_1,A)}{f(B,A_1,A_2,C)}\;,\quad-\;\frac{f(C,A_2,A_1,B)}{f(C,B_1,B_2,A)}\;.\]
    Pour terminer, il ne reste qu’à vérifier que le produit de ces trois rapports est $-1$. C’est immédiat : la symétrie par rapport au milieu de $AB$ transformant $(A,C_1,C_2,B)$ en $(B,C_2,C_1,A)$, le dénominateur du premier rapport égale le numérateur du second, etc.

    [1J’écris vérifier,$\,$ et non démontrer,$\,$ parce que je ne suis parvenue à justifier cette propriété qu’en calculant$\,$ les positions des points dans le plan ; ce calcul n’est guère difficile, mais prive de la satisfaction de comprendre ce qu’il dissimule.

    Document joint : figure-4-9-11.pdf
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