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• 4.9.18 sans Carnot

  le 14 novembre 2021 à 07:53, par Reine

  Vous avez raison : le recours à Carnot n’est pas indispensable. Cette question ne concerne finalement que des directions de droites.$\,$ Le triangle $JKL$ n’est « défini » que par les directions de ses trois côtés, qui doivent être perpendiculaires à $AP$, $BP$ et $CP$ ; et la question est de savoir si trois droites issues de ses trois sommets et de directions perpendiculaires à $BC$, $CA$ et $AB$, sont concourantes. Ni les tailles des deux triangles, ni leur position relative n’intervient ici ; chacun d’eux pourrait être arbitrairement translaté ou grossi.

  Étant donné trois directions de droites$\,$ $a$, $b$ et $c$, convenons de dire que trois autres directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont $\,$concourantes dans $\,abc$ si, lorsqu’on forme un triangle $ABC$ dont les côtés $BC$, $CA$ et $AB$ ont pour directions $a$, $b$ et $c$, les droites issues des sommets $A$, $B$ et $C$ et de directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont concourantes (figure 1 ci-jointe). Nous abrégerons cette relation entre les six directions par la notation $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, les trois branches de l’étoile rappelant que les trois droites de gauche concourent. En notant $d^{\perp}$ la direction perpendiculaire à une direction de droites donnée $d$, la propriété que vous avez démontrée s’énonce : Si $\,(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, alors $\,(a^\perp b^\perp c^\perp)*(\alpha^\perp\beta^\perp\gamma^\perp)$.

  On peut évidemment aussi faire tourner la figure 1 : si $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, et si $r$ est une rotation, alors $\bigl(r(\alpha)r(\beta)r(\gamma)\bigr)*\bigl(r(a)r(b)r(c)\bigr)$. L’orthogonalité n’a donc rien à voir ici, la question se ramenant à une espèce de dualité : Si $\,(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, alors $\,(abc)*(\alpha\beta\gamma)$ (figures 1 et 2).

  Pour démontrer cette propriété, le plus simple est évidemment d’exprimer la concurrence par une relation quantitative. Deux directions de droites $d$ et $e$ étant données, je noterai $\sin de$ le sinus de l’angle non orienté qu’elles forment (angle aigu ou obtus, le sinus est le même). Si $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, on a (figure 3)\[\frac{PB}{PC}=\frac{\sin a\gamma}{\sin a\beta}\;;\quad\frac{PC}{PA}=\frac{\sin b\alpha}{\sin b\gamma}\;;\quad\frac{PA}{PB}=\frac{\sin c\beta}{\sin c\alpha}\;.\]On en tire aussitôt\[\begin{equation}\sin a\beta\>\sin b\gamma\>\sin c\alpha=\sin a\gamma\>\sin b\alpha\>\sin c\beta\;.\label{equation_1}\end{equation}\]Cette condition nécessaire est aussi suffisante. Prenons en effet trois droites de directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ issues d’un même point $P$, et un point $A$ sur la droite $P\alpha$. On peut définir $C$ sur $P\gamma$ tel que $AC\,//\,b$, puis $B$ sur $P\beta$ tel que $CB\,//\,a$ et enfin $A'$ sur $PA$ tel que $BA'//\,c$. On a alors ${PC}={PA}\;{\sin b\alpha}\,/\,{\sin b\gamma}$, puis ${PB}={PC}\;{\sin a\gamma}\,/\,{\sin a\beta}$, et ${PA'}={PB}\;{\sin c\beta}\,/\,{\sin c\alpha}$. Si la relation ($\ref{equation_1}$) est satisfaite, on en tire $PA'=PA$, d’où $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$.

  Pour démontrer la propriété qui nous occupe, il suffit alors de remarquer que la relation ($\ref{equation_1}$) reste inchangée lorsqu’on y permute $a$ et $\alpha$, $b$ et $\beta$, et $c$ et $\gamma$.

  Vous m’objecterez que je n’ai fait que remplacer la formule de Carnot par une autre. C’est vrai ; et c’est pourquoi j’ai envie de vous proposer une seconde démonstration, un peu plus géométrique.

  Matérialisons l’hypothèse $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$ par un triangle $ABC$ et un point $P$ (figure 3). Introduisons le point $D$ sur $AP$ tel que $BD$ soit parallèle à $AC$ et le point $E$ sur $BC$ tel que $AE$ soit parallèle à $BP$ (figure 4). Dans le triangle $EDA$, les trois droites $EB$, $DB$ et $AB$ ont pour directions $a$, $b$ et $c$ ; les côtés $AD$ et $AE$ de ce triangle ont pour directions $\alpha$ et $\beta$. Je vais prouver que le troisième côté $DE$ a pour direction $\gamma$ ; le triangle $EDA$ aura alors ses côtés dans les directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, et puisque le point $B$ est vu de ses sommets dans les directions $a$, $b$ et $c$, il sera établi que $(abc)*(\alpha\beta\gamma)$.

  Appelons $Q$ le point où $AP$ rencontre $BC$. Thalès traduit le parallélisme de $AE$ et $PB$ et celui de $AC$ et $BD$ par\[\frac{\,\overline{\!QP\!}\,}{\,\overline{\!QA\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QB\!}\,}{\,\overline{\!QE\!}\,}\quad\hbox{et par}\quad\frac{\,\overline{\!QA\!}\,}{\,\overline{\!QD\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QC\!}\,}{\,\overline{\!QB\!}\,}\;.\]Multipliant membre à membre, il reste\[\frac{\,\overline{\!QP\!}\,}{\,\overline{\!QD\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QC\!}\,}{\,\overline{\!QE\!}\,}\;;\]ceci montre que $DE$ est parallèle à $CP$, donc de direction $\gamma$, et la messe est dite !

  Une dernière remarque, bien que cette réponse soit déjà fort longue. En chacun des quatre points $A$, $B$, $C$ et $P$ de la figure 3 concourent trois droites issues des trois autres points. On a ainsi automatiquement, dès que $(\alpha\beta\gamma)*(abc)$, trois autres relations telles que $(ab\gamma)*(\alpha\beta c)$ etc. En y ajoutant la relation établie ci-dessus et ses trois avatars, on voit que la relation $\,(\alpha\beta\gamma)*(abc)$ reste vraie lorsqu’on échange un ou plusieurs parmi $\,\alpha$, $\beta$ et $\,\gamma$ avec les $\,a$, $b$ et $\,c$ correspondants.

  Document joint : figure-4-9-18.pdf
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