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• Une belle bêtise !

  le 15 novembre 2021 à 12:27, par Reine

  Dans mon commentaire précédent, j’ai prétendu et « démontré » que, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ étant six directions de droites, la condition (1)\[\sin a\beta\>\sin b\gamma\>\sin c\alpha=\sin a\gamma\>\sin b\alpha\>\sin c\beta\]est nécessaire et suffisante pour que, dans « le » triangle de côtés $a$, $b$ et $c$, les droites issues des sommets opposés à $a$, $b$ et $c$ et de directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ soient concourantes. La « démonstration » de la suffisance se termine par un argument fallacieux : ayant trois points alignés $P$, $A$ et $A'$ tels que $PA=PA'$, j’en déduis que $A=A'$. Eh bien ce n’est pas seulement cette démonstration qui est insuffisante, mais la propriété elle-même qui est fausse : la condition nécessaire (1) n’est pas suffisante.

  Voici un contre-exemple très simple. La figure 5 ci-jointe est symétrique par rapport à médiatrice de $BC$. Les droites $AP$, $BP$ et $CP$ étant concourantes, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont liées par l’équation (1), qui est d’ailleurs triviale puisqu’en raison de la symétrie, on a séparément ${a\gamma=a\beta}$, ${\,b\alpha=c\alpha}$ et ${c\beta=b\gamma}$. Remplaçons maintenant $\alpha$ par la direction orthogonale $\alpha'$. Les angles $b\alpha$ et $c\alpha$ sont remplacés par leurs complémentaires, qui sont égaux, et la relation (1) avec $\alpha'$ au lieu de $\alpha$ est encore satisfaite ; et cependant la droite $A\alpha'$ ne passe pas par le point $P$ où se rencontrent les deux autres.

  Il est d’ailleurs facile, sur cet exemple, d’effectuer avec $\alpha'$ la construction proposée dans ma « démonstration » de la suffisance, pour voir apparaître deux points symétriques par rapport à $P$ mais non égaux.

  Heureusement, la dualité n’est pas remise en cause : si $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ concourent dans $a$, $b$ et $c$, alors inversement $a$, $b$ et $c$ concourent dans $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$. Nous le savons par l’argument carnotien de Hébu, que vient corroborer ma seconde démonstration.

  La relation (1) n’étant pas suffisante, comment pourrait-on la renforcer pour qu’elle le devienne ? Cinq des six directions $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ étant données, il n’y a en général qu’une seule façon de choisir la sixième pour que $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ soient concourantes dans le triangle $abc$. Je soupçonne — mais c’est conjectural, nullement rigoureux — que l’équation (1) fournit en général deux$\,$ solutions pour la sixième direction. Pour ne garder que l’une des deux, peut-être faudrait-il affecter un signe à chaque sinus, par exemple en fixant arbitrairement sur chacune des six droites une orientation, c’est-à-dire un vecteur unitaire, et prendre des sinus d’angles orientés de vecteurs ? Chacune des six directions figure une fois et une seule de part et d’autre du signe $=$ dans (1) ; changer le sens de son orientation changerait donc un signe de chaque côté sans affecter la validité ou la fausseté de la relation.

  J’abandonne cette question à la sagacité d’une lectrice ou d’un lecteur de ces lignes — s’il s’en trouve un jour.

  Document joint : figure-4-9-18-suite.pdf
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