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• Le cas des points alignés

  le 24 février 2022 à 19:27, par Reine

  Étant donné un triangle $ABC$ et des points $A'$, $B'$ et $C'$ situés respectivement sur les droites $BC$, $CA$ et $AB$, appelons $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les directions des droites $BC$, $CA$, $AB$, $AA'$, $BB'$ et $CC'$. Formons un nouveau triangle $JKL$ (unique à homothéties et translations près) tel que $KL$, $LJ$ et $JK$ aient pour directions respectives $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, et plaçons sur ses trois côtés les points $J'$, $K'$ et $L'$ tels que les directions de $JJ'$, $KK'$ et $LL'$ soient $a$, $b$ et $c$, inversant ainsi les rôles de $a$, $b$ et $c$ d’une part et $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ d’autre part. Alors les points $\,A'$, $B'$ et $\,C'$ sont alignés si et seulement si $\,J'$, $K'$ et $\,L'$ le sont. Cela résulte d’une formule établie plus haut ; je vais en donner une preuve directe et plus géométrique.

  Partons de trois points alignés $A'$, $B'$ et $C'$ pris sur les côtés d’un triangle $ABC$ (figure ci-jointe). La parallèle à $CC'$ passant par $B$ coupe $AC$ en un point $M$. La parallèle à $AA'$ issue de $M$ rencontre $AB$ en $N$, $BC$ en $P$, et $BB'$ en $Q$. Soit $R$ l’intersection de $AA'$ et $BB'$ et $S$ celle de $BM$ et $B'P$. Je vais montrer que $\,QS$ est parallèle à $\,AB$. La situation décrite plus haut sera alors réalisée en prenant pour $JKL$ le triangle $BMQ$ et, pour $J'$, $K'$ et $L'$, les points alignés $P$, $B'$ et $S$.

  Appelons $T$ l’intersection des droites $QS$ et $BC$. Les points $B$, $P$, $T$ et $C$ forment une division harmonique (car la diagonale $BP$ du quadrilatère complet formé par notre triangle $BMQ$ et par sa sécante $PB'S$ doit être coupée harmoniquement par les deux autres). D’où\[\frac{\,\overline{\!TP\!}\,}{\,\overline{\!TB\!}\,}=-\frac{\,\overline{\!CP\!}\,}{\,\overline{\!CB\!}\,}=-\frac{\,\overline{\!CP\!}\,}{\,\overline{\!CA'\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!CA'\!}\,}{\,\overline{\!CB\!}\,}\;.\]Le rapport ${\,\overline{\!CP\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!CA'\!}\,}$ peut être remplacé par ${\,\overline{\!CM\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!CA\!}\,}$ grâce au parallélisme des droites $MP$ et $AA'$, puis par ${\,\overline{\!C'B\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!C'A\!}\,}$ grâce au parallélisme des droites $MB$ et $CC'$ ; donc\[\frac{\,\overline{\!TP\!}\,}{\,\overline{\!TB\!}\,}=-\frac{\,\overline{\!C'B\!}\,}{\,\overline{\!C'A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!CA'\!}\,}{\,\overline{\!CB\!}\,}\;.\]La formule de Céva, appliquée au triangle $ABA'$ et aux droites concourantes $AC$, $BR$ et $A'C'$, transforme le second membre en ${\,\overline{\!RA'\!}\,}\,/\,{\,\overline{\!RA\!}\,}$ ; utilisant à nouveau le parallélisme de $RA$ et $QN$, on obtient l’égalité\[\frac{\,\overline{\!TP\!}\,}{\,\overline{\!TB\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QP\!}\,}{\,\overline{\!QN\!}\,}\;,\]qui établit que $QT$ est parallèle à $NB$.

  Document joint : figure-4-9-18-align.pdf
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