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• Suite... et fin ?

  le 2 mars 2022 à 17:10, par Reine

  Ayant été bien maladroite dans mes commentaires précédents, je reprends à zéro.

  On part de deux triangles $ABC$ et $JKL$. Les directions [1] des côtés $BC$, $CA$ et $AB$ seront appelées $a$, $b$ et $c$, celles de $KL$, $LJ$ et $JK$ seront $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$. Les droites de directions $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ respectivement issues de $A$, $B$ et $C$ coupent les côtés opposés $BC$, $CA$ et $AB$ en des points $A'$, $B'$ et $C'$ ; de même, les droites de directions $a$, $b$ et $c$ issues de $J$, $K$ et $L$ fournissent sur les côtés de $JKL$ des points $J'$, $K'$ et $L'$ (figure 1 jointe).

  Dans ces conditions, le produit\[\frac{\,\overline{\!A'\!B\!}\,}{\,\overline{\!A'\!C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B'\!C\!}\,}{\,\overline{\!B'\!A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C'\!A\!}\,}{\,\overline{\!C'\!B\!}\,}\]et son analogue\[\frac{\,\overline{\!J'\!K\!}\,}{\,\overline{\!J'\!L\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!K'\!L\!}\,}{\,\overline{\!K'\!J\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!L'\!J\!}\,}{\,\overline{\!L'\!K\!}\,}\]sont inverses l’un de l’autre.

  Ces produits étant ceux qui figurent dans les théorèmes de Ménélaüs et Céva, on a aussitôt deux cas particuliers : les points $\,A'$, $B'$ et $\,C'$ sont alignés si et seulement si $\,J'$, $K'$ et $\,L'$ le sont ; les droites $\,AA'$, $BB'$ et $\,CC'$ sont concourantes si et seulement si $\,JJ'$, $KK'$ et $\,LL'$ le sont.

  Voici une démonstration élémentaire (rien que Thalès) de cette propriété des produits. Je supposerai $AA'$, $BB'$ et $CC'$ non concourantes. [2] Ceci permet de remplacer $JKL$ par le triangle $PQR$ formé des trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$, en introduisant sur les côtés du triangle $PQR$ les points $P'$, $Q'$ et $R'$ tels que $PP'$, $QQ'$ et $RR'$ soient parallèles aux côtés de $ABC$ (figure 2).

  Écrivons\[\frac{\,\overline{\!P'\!Q\!}\,}{\,\overline{\!P'\!R\!}\,}=\frac{\,\overline{\!P'\!Q\!}\,}{\,\overline{\!P'\!A'}\,}\times\frac{\,\overline{\!P'\!A'}\,}{\,\overline{\!P'\!R\!}\,}=\frac{\,\overline{\!PQ\!}\,}{\,\overline{\!PC\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!PB\!}\,}{\,\overline{\!PR\!}\,}\](on a utilisé deux fois le parallélisme de $PP'$ et $BC$). De même,\[\frac{\,\overline{\!C'\!A\!}\,}{\,\overline{\!C'\!B\!}\,}=\frac{\,\overline{\!C'\!A\!}\,}{\,\overline{\!R'\!R\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!R'\!R\!}\,}{\,\overline{\!C'\!B\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QA\!}\,}{\,\overline{\!QR\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!PR\!}\,}{\,\overline{\!PB\!}\,}\;.\]Multiplions :\[\frac{\,\overline{\!P'\!Q\!}\,}{\,\overline{\!P'\!R\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C'\!A\!}\,}{\,\overline{\!C'\!B\!}\,}=\frac{\,\overline{\!PQ\!}\,}{\,\overline{\!PC\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!QA\!}\,}{\,\overline{\!QR\!}\,}\;.\]

  Par des arguments analogues (ou simplement en permutant les lettres !),\[\frac{\,\overline{\!Q'\!R\!}\,}{\,\overline{\!Q'\!P\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!A'\!B\!}\,}{\,\overline{\!A'\!C\!}\,}=\frac{\,\overline{\!QR\!}\,}{\,\overline{\!QA\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!RB\!}\,}{\,\overline{\!RP\!}\,}\;,\]puis\[\frac{\,\overline{\!R'\!P\!}\,}{\,\overline{\!R'\!Q\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B'\!C\!}\,}{\,\overline{\!B'\!A\!}\,}=\frac{\,\overline{\!RP\!}\,}{\,\overline{\!RB\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!PC\!}\,}{\,\overline{\!PQ\!}\,}\;.\]

  En multipliant membres à membres les trois dernières égalités, les seconds membres disparaissent, d’où le résultat annoncé :\[\Bigl(\frac{\,\overline{\!P'\!Q\!}\,}{\,\overline{\!P'\!R\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!Q'\!R\!}\,}{\,\overline{\!Q'\!P\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!R'\!P\!}\,}{\,\overline{\!R'\!Q\!}\,}\Bigr)\,\times\,\Bigl(\frac{\,\overline{\!A'\!B\!}\,}{\,\overline{\!A'\!C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B'\!C\!}\,}{\,\overline{\!B'\!A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C'\!A\!}\,}{\,\overline{\!C'\!B\!}\,}\Bigr)=1\;.\]

  [1] Il s’agit de directions de droites non orientées ; sa direction caractérise une droite à parallélisme près.

  [2] Dans le cas concourant, une preuve simple et courte est donnée en fin de mon commentaire ci-dessus intitulé 4.9.18 sans Carnot. Le cas des points alignés, qui fait lui aussi l’objet d’une démonstration à part (mon commentaire précédent), est redémontré ici.

  Document joint : figure-4-9-18-suite-2.pdf
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