Figure sans paroles #4.9.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.2

    le 7 septembre à 16:18, par Hébu

    Un triangle $ABC$ quelconque.

    Depuis les sommets $B$ et $C$ on mène deux segments $[BD]$ et $[CE]$ qui vont couper le côté opposé. La droite $(ED)$ coupe $(BC)$ en $F$.

    On mène les segments $AF'$, $BD'$ et $CE'$, symétriques de $AF$, $BD$ et $CE$ par rapport aux bissectrices intérieures.

    Alors les points $F'$, $E'$ et $D'$ sont alignés.

    .
    Des points alignés évoquent le résultat de Ménélaüs : considérons notre triangle $ABC$ et les points $E, D, F$ (un sur chaque côté du triangle $ABC$) leur alignement permet d’affirmer que
    \[ \;\;\frac{\overline{DA}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}\times \frac{\overline{EB}}{\overline{EA}}=+1\;\;\; (1) \]
    Le théorème fait de cette égalité une condition nécessaire et suffisante.

    Maintenant, on peut invoquer le résultat présenté pour la figure 4.9.1 : les points $D,D'$, $F,F'$, et $E,E'$ sont tous symétriques par rapport aux bissectrices des sommets $B, A$ et $C$,
    on a donc les relations
    \[ \frac{D'C}{D'A}=\frac{DA}{DC}\times \left(\frac{BC}{AB}\right)^2, etc \]
    Cela permet d’écrire
    \[ \frac{D'C}{D'A}\times \frac{E'A}{E'B}\times\frac{F'B}{F'C}=\frac{DA}{DC}\times \frac{FC}{FB}\times\frac{EB}{EA}\times \left(\frac{BC}{AB}\right)^2\left(\frac{AC}{BC}\right)^2\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 \]
    Si on porte (1) dans cette relation ($E,D,F$ sont alignés), on établit l’égalité pour les points $D',E',F'$, et donc leur alignement.

    Document joint : idm4-9-2.jpg
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    • 4.9.2

      le 17 septembre à 20:14, par Reine

      Voici une autre façon d’aborder cette question, dans le même esprit que ma remarque sur la Figure sans Paroles 4.9.1. Partant d’un triangle $ABC$, j’appellerai $a$, $b$ et $c$ les droites portant les côtés respectivement opposés à $\,A$, $B$ et $C$. On se donne deux points $H$ et $H'$ sur $a$, (respectivement $I$ et $I'$ sur $b$, $J$ et $J'$ sur $c$) tels que les droites $AH$ et $AH'$ (respectivement $BI$ et $BI'$, $CJ$ et $CJ'$) soient symétriques l’une de l’autre par rapport à la bissectrice de l’angle $A$ (respectivement $B$, $C$).

      Dans ces conditions, il s’agit de s’assurer que si les points $\,H$, $I$ et $\,J$ sont alignés, il en va de même de $\,H'$, $I'$ et $\,J'$.

      Étant donné un point $M$, une droite $d$ et une orientation sur la direction perpendiculaire à $d$, je noterai $Md$ la distance algébrique de $M$ à la droite $d$, c’est-à-dire la distance usuelle affectée du signe plus ou moins selon que $M$ est d’un côté ou de l’autre de $d$. De telles distances algébriques ont été utilisées (sans cette notation) dans mon commentaire sur la Figure sans Paroles 4.9.1, pour formuler deux conditions nécessaires et suffisantes, que je rappelle ici (et dont les démonstrations sont très courtes et faciles). On se donne deux droites $d$ et $e$, sécantes en un point $A$, des orientations sur les directions perpendiculaires à ces droites, et des points $M$, $N$ et $M'$.

      Critère 1.Pour que $\,N$ soit sur la droite $\,AM$, il faut et il suffit que $\,Ne\,/\,Nd=Me\,/\,Md$.

      Critère 2.Pour que les droites $\,AM$ et $\,AM'$ soient symétriques l’une de l’autre par rapport aux bissectrices de l’angle formé par $\,d$ et $\,e$, il faut et il suffit que $\,M'\!e\,/\,M'\!d=Md\,/\,Me$.

      Revenons à notre triangle. Puisque le critère 2 permet de traduire les hypothèses de symétrie par rapport aux bissectrices en termes de rapports de distances algébriques, il ne nous manque que de savoir exprimer en fonction de ces rapports l’alignement de trois points pris sur les trois côtés.

      Nous avons donc des points $H$, $I$ et $J$ respectivement sur les droites $a$, $b$ et $c$. Si ces trois points sont alignés,$\,$ trois applications du théorème de Thalès fournissent
      \[\frac{Ja}{Ia}=\frac{\,\overline{\!JH}}{\,\overline{\!IH}}\;,\quad \frac{Hb}{Jb}=\frac{\,\overline{\!HI}}{\,\overline{\!JI}}\;,\quad \frac{Ic}{Hc}=\frac{\,\overline{\!IJ}}{\,\overline{\!HJ}}\;;\]
      et en multipliant tout ça, les seconds membres s’évanouissent, ne laissant que
      \[\begin{equation}\frac{Hb}{Hc}\;\frac{Ic}{Ia}\;\frac{Ja}{Jb}=-1\;. \label{equation_1}\end{equation}\]
      (Malgré ses efforts pour ressembler à du Céva, cette condition $\ref{equation_1}$ n’a rien à voir ; elle reste totalement élémentaire — et ne fait d’ailleurs pas intervenir les sommets du triangle.)

      La relation $\ref{equation_1}$ est donc nécessaire pour que $H$, $I$ et $J$ soient alignés. Nous allons voir que, réciproquement, elle est aussi suffisante. Supposons donc que les trois points $\,H$ sur $\,a$, $\,I$ sur $\,b$ et $\,J$ sur $\,c$ satisfont l’égalité $\,\ref{equation_1}$, et appelons $K$ le point intersection des droites $a$ et $IJ$. Comme $K$ est aligné avec $I$ et $J$, la formule $\ref{equation_1}$ reste vraie si l’on y remplace $H$ par $K$ ; et en comparant l’égalité où intervient $H$ à celle où intervient $K$, on voit que ${Hb}\,/\,{Hc}={Kb}\,/\,{Kc}$. Le critère 1 rappelé ci-dessus montre alors que le point $H$ est sur la droite $AK$ ; ce point $H$ est donc l’intersection de $AK$ avec $a$, c’est-à-dire $K$, et il est aligné avec $I$ et $J$. Ainsi, la relation $\,\ref{equation_1}$ est nécessaire et suffisante pour l’alignement de $\,H$, $I$ et $\,J$.

      C’est terminé : compte tenu de la condition $\ref{equation_1}$ et du critère 2, démontrer que, si $H$, $I$ et $J$ sont alignés alors $H'$, $I'$ et $J'$ le sont aussi, se réduit à vérifier que, si le produit de trois rapports vaut $-1$, le produit des rapports inverses vaut aussi $-1$.

      Document joint : figure-4-9-2.pdf
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  • 4.9.2

    le 18 septembre à 18:06, par Hébu

    Rien à ajouter. Clairement, voilà un résultat à garder en mémoire ! Bravo

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