Figure sans paroles #4.9.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.5

    le 9 septembre à 09:34, par Hébu

    Sur les côtés d’un triangle $ABC$, on construit trois triangles isocèles $ABD$, $BCE$ et $ACF$, dont les angles de base $(AD,AB), (AC,AF), (BE,BC)$ ont même valeur.

    Alors, les droites $(AE), (BF), (CD)$ sont concourantes.

    .
    Il faut établir un petit résultat préliminaire. Soient $R,S$ les projetés orthogonaux de $A$ sur $BE$ et $CE$, et $Q, P$ les projetés de $B, C$ sur $AE$.

    .
    Puisque les triangles $ABE$ et $ACE$ ont en commun la base $AE$, le rapport de leurs aires égale le rapport des hauteurs, $BQ/CP$. Les triangles rectangles $QBE$ et $PJC$ sont semblables, et $BQ/CP=BJ/CJ$.

    Maintenant, prenant $BE$ et $CE$ comme bases, le rapport des aires sera le rapport des hauteurs correspondantes, $AR/AS$.

    Finalement, le rapport Aire($ABE$)/Aire($ACE$) s’écrit $BQ/CP=BJ/JC=AR/AS$.

    Il est commode ici d’introduire l’angle $(BE,BC)$, qu’on note $u$, et le sinus de $(BE,BA)$ (que je note $B+u$). On écrit en effet ($A,B,C$, mesure des angles des sommets) :

    \[\frac{BJ}{CJ}=\frac{AR}{AS}=\frac{AB.\sin{(B+u)}}{AC.\sin{(C+u)}}\]

    Nanti de cette relation, je peux écrire :

    \[ \frac{JB}{JC}\times \frac{KC}{KA}\times \frac{IA}{IB}= \frac{AB.\sin{(B+u)}}{AC.\sin{(C+u)}}\times \frac{BC.\sin{(C+u)}}{AB.\sin{(A+u)}}\times \frac{AC.\sin{(A+u)}}{BC.\sin{(B+u)}} \]

    Le produit vaut donc 1 (-1 si on avait orienté nos segments), et le résultat de Céva assure la concourance de $AE, BF$ et $CD$.

    Document joint : idm4.9.5.jpg
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