Figure sans paroles #5.1.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 5.1.4

    le 8 de abril de 2019 à 10:38, par Sidonie

    Sur le coté [AB] d’un parallélogramme ABCD de centre O, on place E tel que les angles OEB et ABC soient égaux. Il faur prouver que CE=DE.

    On place sur [CD] 3 points : F aligné avec O et E, G tel que (EG) // (AD) et H tel que (EH) et (CD) soient perpendiculaires.

    Les angles suivants sont égaux EGF=ADC=ABC=BEF=EFG donc EFG est un triangle isocèle et (EH) est la médiatrice de [GF].

    Les longueurs suivantes sont égales: FC= AE=DG d’où HC=HD et (HE) est la médiatrice de [CD] et donc CE=CD

    Document joint : idm_5.1.4.jpg
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    • 5.1.4

      le 8 de abril de 2019 à 14:55, par Hébu

      Oui, une jolie preuve bien enlevée. Je propose une variante:

      .

      Depuis O je mène la parallèle à AD qui coupe AB en J et CD en H. Je mène aussi la perpendiculaire à AB depuis O.

      La droite OE est alors symétrique de OJ par rapport à cette perpendiculaire (cela permet un tracé simple de E). EO coupe CD en F, les triangles OEJ et OHF sont isocèles, et égaux, de sorte que EH est perpendiculaire à CD.

      .

      Et comme H est évidemment milieu de CD (de par sa construction), EH est la médiatrice de ECD.

      .

      On tourne autour des mêmes idées, finalement.

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      • 5.1.4

        le 8 de abril de 2019 à 15:12, par Sidonie

        Jolie preuve également, avec plein de triangles isocèles égaux ou semblables. Donc pas mal de possibilités à venir.

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  • 5.1.4

    le 8 de abril de 2019 à 18:59, par Hébu

    Oui, et même une autre preuve, plus amusante peut-être!

    .
    Ayant placé le point E, le point F, on prolonge EF, qui coupe (AD) en M et (BC) en N. Les triangles DMF et EBN sont isocèles et égaux. Par symétrie, AF=DE, et CE=BF.

    .

    On en déduit l’égalité de leurs éléments homologues. Les points A, E et C, F placés en même position, de sorte que les segments AF et CE, ou FB et DE «homologues», sont égaux (on pourrait aussi invoquer pour cela l’égalité des triangles AED et FCE, où les angles sont égaux et AD=EF). Et donc DE=CE

    .

    Rq. Pour l’isocélité (?) de DMF et EBN, pas de problème. Par contre, leur égalité est-elle évidente ?

    Document joint : idm5-1-4bis.jpg
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    • 5.1.4

      le 9 de abril de 2019 à 10:32, par Sidonie

      C’est en effet une jolie figure qui permet une démonstration plus rapide en considérant la symétrie de centre O qui donne EC=AF et aussi l’égalité des 2 triangles maintenant plus guère nécessaire.

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      • 5.1.4

        le 9 de abril de 2019 à 17:04, par Hébu

        Oui ! Et on tient là sûrement la démonstration la plus courte.

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        • 5.1.4

          le 9 de abril de 2019 à 23:11, par Sidonie

          Et encore une fois l’union fait la force.

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        • 5.1.4

          le 10 de abril de 2019 à 15:47, par Sidonie

          On peut même accélérer en ne traçant que F symétrique de E par rapport à E. La symétrie centrale donne les deux trapèzes isocèles (à causes des angles égaux) AEFD et CEFB isométriques avec 4 diagonales de même longueur.

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          • 5.1.4

            le 10 de abril de 2019 à 17:17, par Hébu

            Exact ! Cela rend la figure plus épurée.

            .

            Cela suscite une réflexion, à propos de la démonstration la plus «courte» ou la plus «simple». Une démonstration consiste à appliquer un théorème (ou plusieurs) à une figure, la figure initiale pouvant être complétée (comme on l’a fait, dans les démonstrations initiales, en traçant les points F, H, M, etc).

            .
            A partir de là, la démonstration la plus courte sera celle qui complétera le moins possible la figure initiale, et qui utilisera le moins de théorèmes ? Ou les théorèmes les plus élémentaires ?

            .
            Par exemple, je peux «résoudre» le problème de la «droite de Simpson», en disant simplement «en vertu du théorème de M. Simpson, etc.» Mais cela ne me vaudra pas de médaille.

            .
            Comment, dans ces conditions, parler de la preuve la plus simple ?

            .
            Bon, je m’éloigne du sujet...

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