Figure sans paroles #5.2.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.2

    le 23 juin 2019 à 21:17, par Hébu

    Suite des réflexions.

    La construction revient à prendre les symétriques, $J$ symétrique de $B$ par rapport à $R$ et $K$ symétrique de $B$ par rapport à la bissectrice en $C$

    .
    Le triangle $KJB$ est rectangle en $K$ ; on a $BJK=(A+D)/2$, $CBK=90-C/2$ et $JBK=(B+C)/2-90=$.

    Le point $R$, centre du cercle inscrit, est milieu de $BJ$. De sorte que $RK=RJ=RB$.

    (remarque : on construit le point $R$ sans tracer de bissectrice : choisir $J$ tel que $AB=AJ$, prendre $R$ milieu de $BJ$. Ceci est vrai parce que AD et BC sont parallèles, et donc $ARB=90°$ ; en particulier, vrai dans un trapèze quelconque pour le cercle inscrit « à gauche »)

    $M, N$ les points de tangence sur $BC$ et $AD$, $Q$ sur $AB$ et $S$ sur $CD$. On a $BM=JN=BQ=SK=f$ (BMR, KSR, JNR triangles rectangles égaux)

    $BCKR$ est un « cerf-volant »

    .
    Tout ceci suggère une condition nécessaire et suffisante pour un trapèze d’être « circonscriptible ».

    $ABCD$ mon trapèze, $AD$ et $BC$ parallèles. Je pose $B'$ sur $AD$, $AB$ et $AB'$ de même longueur ; je pose $C'$ sur $AD$ aussi, $DC'=DC$. Et j’appelle $R$ le milieu de $BB'$, $R'$ le milieu de $CC'$.

    Alors $ABCD$ circonscriptible si et seulement si $R$ et $R'$ sont confondus.

    Once again, qu’est-ce qu’on peut faire de ça ?

    Document joint : idm5-2-2dimanche.ggb
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