Figure sans paroles #5.2.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.9

    le 12 novembre 2020 à 17:09, par Sidonie

    Propriété 2 : A,B,C et D 4 points d’une parabole définissent avec leurs tangentes un quadrilatère complet FHEI complété par K et J alors soit les droites (AB),(CD),(HI) et (KL) sont concourantes, soit elles sont parallèles.
    Preuve : G est l’intersection entre (AB) et (CD) (si elle existe) , E et F étant les intersections des tangentes (EF) est la polaire de G par rapport à la parabole.
    (EA),(EB) et (EF),(EG) forment un faisceau harmonique(1), de même que (FD),(FC) et (FE),(FG)(2)
    L et N sont les intersections de (EF) avec (HI) et (KJ). D’après (1) le point qui partage harmoniquement H et I avec L est un point de (EG) mais d’après (2) c’est aussi un point de (FG).
    Donc les 4 droites sont bien concourantes en G.
    C’ est le point de la parabole tel que (AB)//(C’D). Si C se rapproche de C’ alors G est envoyé vers l’infini et à la limite, puisque tous les mouvements sont continus, les 4 droites deviennent parallèles.

    Document joint : fsp_5.2.9_parabole_2.jpg
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