Figure sans paroles #5.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.6

    le 14 juin 2020 à 17:32, par Hébu

    En cherchant sur le web, je suis tombé sur une preuve intéressante, qui s’appuie sur un théorème d’un certain Léon Anne (1806-1850, dit Wikipedia).

    Soit $P$ un point intérieur à un quadrilatère non parallélogramme. On le connecte à chacun des sommets, faisant apparaître 4 triangles. Le lieu géométrique des points tels que les sommes des aires des triangles opposés soient égales est la droite de Newton.

    Et, si le quadrilatère est un quadrilatère complet ABCD, O le centre du cercle inscrit, la condition sur les sommes des côtés opposés assure que aire(OAB)+ aire(OCD)= aire (OCB)+aire(OAD), c’est à dire que le point $O$ est sur la ligne.

    .

    La preuve du théorème est étonnante :

    Si on introduit un système de coordonnées cartésiennes, $(p,q)$ seront les coordonnées de $P$,, la distance entre $P$ et une ligne (un côté du quadrilatère) sera une fonction linéaire de $p$ et $q$. Donc, l’aire d’un triangle à base donnée, quand $P$ se déplace, sera une fonction linéaire de $p, q$. Si notre point est le $P$ connecté aux sommets, l’aire de chaque somme sera une fonction linéaire. Et donc la différence des aires sera fonction linéaire de $p$ et $q$, et le lieu, déterminé par une différence nulle, sera défini par une équation linéaire — c’est à dire une droite.

    Maintenant, si $P$ se situe en $J$ ou $K$ (milieux des diagonales), ces deux aires sont égales : le lieu recherché est donc la droite qui joint ces points.

    (adapté de « Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics » de Claudi Alsina, Roger B. Nelsen

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