Figure sans paroles #5.4.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre!

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.7

    le 15 de octubre de 2019 à 17:16, par Hébu

    Bien vu !

    Bravo!

    Il y a un point qui me tarabuste. J’étais parti sur une autre idée (que je n’ai pas su faire aboutir: montrer que le côté de mon quadrilatère intérieur (c’est à dire la tangente aux cercles d’angles, celle qui se nomme $E_1F_1$ sur mon schéma) est parallèle à $XZ$.

    L’idée était que les autres tangentes ayant la même propriété, elles étaient parallèles entre elles 2 à 2, d’où le parallélogramme, etc.

    .
    Et pour prouver ma propriété, je dessine la seule moitié gauche du dessin. Et j’observe, sur cette moitié, que effectivement on a le parallélisme:

    Depuis $E$ et $F$ je prolonge $EE_1$ et $FF_1$ (les points de tangence) jusque $XZ$. Ces droites prolongées vont couper $XZ$ à angle droit - d’où la parallélisme

    Par ailleurs, la droite qui joint les points de contact de $YZ$ et $XY$ avec les cercles, est aussi parallèle à $XZ$. Cette dernière propriété est facilement déduite de ce que les points de contact sont milieux des segments $YZ$ et $XY$.

    D’où mon étonnement. La propriété de parallélisme est indépendante de ce que je fais au côté droit, et devrait se déduire de la construction partielle (segments AB, AZ, BX, les bissectrices, le cercle) !

    Document joint : coteg.jpg
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